به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
95 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط Riazi
ویرایش شده توسط Riazi

در زیر تعداد رقمهای تناوب، در نمایش اعشاری معکوس اعداد اول(به جز 2 و 5) با n نشان داده شده است.

(1/3)=0.333... ~n=1 (1/7)=0.142857142857...~n=6 (1/11)=0.090909....~n=2 (1/13)=0.076923076923...~n=6 (1/17)~n=16 (1/19)~n=18

دنبال الگویی هستیم که بدون انجام تقسیم تعداد رقم های تناوب معکوس هر عدد اول را بتوانیم تعیین کنیم.(منظور کوچکترین تعداد ارقام تناوب معکوس آن عدد اول است که قاعدتا برای عدد اول p مقسوم علیه مقسوم علیهی از عدد p_1 خواهد شد)

مثلا چطور بدون انجام عمل تقسیم متوجه بشویم تعداد رقم های تناوب نمایش اعشاری عدد (یک سیزدهم) برابر 6 است؟ همچنین تعداد رقم های تناوب نمایش اعشاری معکوس هر عدد اول دیگری به جز 2 و 5

توسط Riazi
–1
با عرض سلام و خسته نباشید
من اشتباهی دستم خورده بود به خاطر همین به جای اینکه پرسش جدیدی ایجاد کنم این پرسش را ویرایش کرده بودم در هر حال ببخشید
توسط admin
+1
@AmirHosein
لطفا در قسمتی که نوشته شده "ویرایش شده 13 ساعت قبل توسط Riazi" روی 13 ساعت کلیک کنید تا تمامی ویرایش های سوال را ببینید. گفته شما درست هست.
@Riazi سوالاتی که پرسیده می شوند و کاربران وقت گذاشته و روی آن بحث می کنند را نباید عوض کنید. اگر سوال جدیدی دارید باید سوال جدید ایجاد کنید.
در هر صورت @AmirHosein می توانید از گزینه های مدیریتی در مورد این سوال استفاده کنید.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط salar

ابتدا بررسی میکنیم که چگونه عدد اعشاری دارای قسمت تناوب را به عدد کسری تبدیل میکنیم.

فرض میکنیم معکوس هر عدد اول غیر از $2$ و $5$ یک عدد اعشاری با قسمت صحیح $0$ و قسمت اعشاری متناوب است.

تعداد اعداد قسمت متناوب برابر $n$ تا در نظر میگیریم و خواهیم داشت:

$$\frac{1}{p}=0.\overline{x} \Rightarrow $$ $$10^n \frac{1}{p}=x.\overline{x} \Rightarrow $$ $$(10^n -1) \frac{1}{p}=x \Rightarrow $$ $$\frac{1}{p}=\frac{x}{10^n -1} (*)$$

که در آن $x$ یک عدد $n$ عددی است و اگر کمتر باشد و $m$ عدد داشته باشد آنگاه باید پشت آن $n-m$ تا $0$ داشته باشیم تا $x$ ساخته شود.

$10^n -1= \underbrace{9...9} $

تعداد $9$ ها برابر $n$ تا است.

حال از $(*)$ داریم:

$$10^n -1=px \Leftrightarrow p=\frac{10^n -1}{x}$$

پس باید اولین $px$ را بیابیم که مضرب $p$ است که در آن عملا $10^n -1$ برای $2$ و$5$ دارای هیچ مقسوم علیه نمیباشد.

حال اگر اولین $10^n -1$ را با شرط

$$10^n-1=px$$

بیابیم که در آن

$$n,x \in N$$

آنگاه $\frac{x}{10^n}$ را محاسبه میکنیم و بر روی تمام قسمت اعشار علامت تناوب را قرار میدهیم

مثلا برای عدد $11$ ابتدا $99$ را شناسایی میکنیم که:

$$10^2-1=99=11 \times 9$$ $$n=2, x=9$$ $$\frac{9}{10^2}=0.09$$

حال با قرار دادن علامت تناوب روی $09$ جواب بدست می آید:

$$\frac{1}{11}=0. \overline{09}$$

پس تعداد اعداد در زیر تناوب برابر با $n$ تا می باشد.

توسط Riazi
سلام
می شود درباره مسئله جدیدی که بسیار مفید است بیشتر توضیح دهید؟ خیلی ممنون
توسط salar
در این باره به جواب کاملی نرسیدم ولی در رابطه با مسئله ظاهراً روشی غیر از خود تقسیم بود که آن روش یافتن اولین مضربی است که تمام ارقام آن $9$ باشد که تعداد $9$ های این مضرب همان $n$ است
توسط Riazi
خیلی ممنون بابت توضیحاتتان
لطفاً اگر راه الگویی n  پیدا کردید به من هم اطلاع دهید
توسط salar
خواهش میکنم
چشم
توسط AmirHosein
@Riazi فکر نمی‌کنید توجه و اقدام مناسب به دیدگاه‌های گذاشته شده برای پرسش‌های دیگری که گذاشته‌اید و نیاز به ویرایش یا روشن‌سازی دارند وظیفهٔ شما به عنوان پرسش‌کننده است؟

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...