ابتدا بررسی میکنیم که چگونه عدد اعشاری دارای قسمت تناوب را به عدد کسری تبدیل میکنیم.
فرض میکنیم معکوس هر عدد اول غیر از $2$ و $5$ یک عدد اعشاری با قسمت صحیح $0$ و قسمت اعشاری متناوب است.
تعداد اعداد قسمت متناوب برابر $n$ تا در نظر میگیریم و خواهیم داشت:
$$\frac{1}{p}=0.\overline{x} \Rightarrow $$
$$10^n \frac{1}{p}=x.\overline{x} \Rightarrow $$
$$(10^n -1) \frac{1}{p}=x \Rightarrow $$
$$\frac{1}{p}=\frac{x}{10^n -1} (*)$$
که در آن $x$ یک عدد $n$ عددی است و اگر کمتر باشد و $m$ عدد داشته باشد آنگاه باید پشت آن $n-m$ تا $0$ داشته باشیم تا $x$ ساخته شود.
$10^n -1= \underbrace{9...9} $
تعداد $9$ ها برابر $n$ تا است.
حال از $(*)$ داریم:
$$10^n -1=px \Leftrightarrow p=\frac{10^n -1}{x}$$
پس باید اولین $px$ را بیابیم که مضرب $p$ است که در آن عملا $10^n -1$ برای $2$ و$5$ دارای هیچ مقسوم علیه نمیباشد.
حال اگر اولین $10^n -1$ را با شرط
$$10^n-1=px$$
بیابیم که در آن
$$n,x \in N$$
آنگاه $\frac{x}{10^n}$ را محاسبه میکنیم و بر روی تمام قسمت اعشار علامت تناوب را قرار میدهیم
مثلا برای عدد $11$ ابتدا $99$ را شناسایی میکنیم که:
$$10^2-1=99=11 \times 9$$
$$n=2, x=9$$
$$\frac{9}{10^2}=0.09$$
حال با قرار دادن علامت تناوب روی $09$ جواب بدست می آید:
$$\frac{1}{11}=0. \overline{09}$$
پس تعداد اعداد در زیر تناوب برابر با $n$ تا می باشد.
