تعریف نگاشت مدرج یا همگن از درجه ی $ d$: فرض کنید$ R $یک حلقه ی مدرج و $ M$ و$ N $ دو $ R $ مدول مدرج باشند و فرض کنید نگاشت $f:M \rightarrow N $ یک $R $ همریختی بین مدولها باشد. میگوییم $ f $ همگن از درجه ی $ D$ است هرگاه
$f( M_{n} ) \subseteq N_{n+d} $
یا به بیان دیگر هر عنصر همگن از درجه ی $n $ را به عنصر همگن از درجه $ n+d $ بنگارد(درجه ی عنصر را $ d $ واحد تغییر بدهد)
حال اگر همون تابع را بصورت $f:M(-d) \rightarrow N $ در نظر بگیریم هر عنصر همگن از درجه $ n$ در $ M $ را به عنصری همگن از همان درجه در $ N $ مینگارد در این حالت میگوییم $f $ همگن از درجه ی صفر است( چون عنصر همگن از درجه ی $ n $ در $M $ برابر عنصر درجه ی $ n-d$ در $ M(-d) $ است )
حال در نوشتن تحلیل آزاد شیفت های مناسب به مانند بالا را انجام میدهیم تا همیشه نگاشت همگن از درجه صفر باشد.
