نکتهٔ یک: در نوشتن و بیان کردن جملات در ریاضی دقت کنید چون اشتباه ساختن جملاتتان مطلب را بیمعنی یا مبهم میکند. توضیحاتی که در مورد فکر خودتان نوشتید گُنگ هستند.
نکتهٔ دو: پاسخی که جلوی پرسشتان نوشتید اشتباه است. پاسخ درست $\frac{5}{9}$ میشود نه $\frac{4}{9}$. مگر اینکه متن پرسش مضرب ۶ نبودن را خواستهبودهباشد. در آنصورت $1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$. اما در پرسشنامهٔ آزمون اینگونه نیست و پنجنهم در گزینهها هست پس همان پنجنهم درست است.
به هر حال پاسخ پرسش اصلی:
بخشپذیر بر ۶ بودن یعنی چه؟ یعنی همزمان بخشپذیر بر ۲ و بخشپذیر بر ۳ بودن. برای اینکه یک عدد بر ۳ بخشپذیر باشد باید چه روی دهد؟ باید جمع ارقامش بر ۳ بخشپذیر باشد. عددی ۴ رقمی شما رقمهایش معلوم است ۰ و ۱ و ۲ و ۳ و فقط ترتیبشان مشخص نیست که اهمیت و تغییری در جمعشان ایجاد نمیکند. جمع این ارقام ۶ است که بر ۳ بخشپذیر است. پس ترتیب آنها هر چه که باشد در بخشپذیری عدد ۴ رقمی حاصل تأثیری ندارد و همواره این شرط برقرار است پس فقط باید ذهنتان را بر روی بررسی بخشپذیری بر ۲ متمرکز کنید.
اکنون یک عدد چه زمانی بر ۲ بخشپذیر بود؟ زمانی که رقم یکانش زوج باشد. پس باید تعداد حالتهایی که عدد چهاررقمیتان یکانش ۰ یا ۲ باشد را بشمارید.
نخست تعداد کل عددهای ۴ رقمیتان را بشماریم. صفر نباید در چپترین جایگاه قرار بگیرد چون باعث میشود عدد ۳ رقمی داشتهباشید. پس برای چپترین جایگاه (جایگاه چهارم از راست) ۳ انتخاب دارید. سپس به سراغ رقم یکان میرویم. یکی از سه عدد ۱ و ۲ و ۳ قبلا استفاده شده است پس دوتای آنها ماندهاند ولی صفر نیز هست و استفاده نشده پس در کل ۳ انتخاب برای یکان داریم. سپس برای دهگان دو عدد تا اینجا حذفشده پس ۲ حالت دارید. و در آخر برای صدگان یک حالت. پس تعداد کل عددهای چهاررقمیتان برابر است با:
$$3\times 3\times 2\times 1=18$$
اینک تعداد چهاررقمیهایی که رقم یکانشان زوج است. رقم چهارم نباید صفر باشد پس ۱ یا ۲ یا ۳ است. اگر ۱ یا ۳ باشد برای یکان دو حالت زوج یعنی ۰ و ۲ هست ولی اگر ۲ باشد برای یکان یک حالت زوج است یعنی ۰ پس باید به دو دسته شمارشمان را تقسیم کنیم. اگر رقم چهارم ۲ باشد پس یک حالت برای آن داریم. بعد برای یکان نیز یک حالت داریم یعنی ۰. بعد برای دهگان از ۱ و ۳ باید انتخاب کنیم پس دو حالت داریم. در آخر هم برای صدگان فقط یکی از ۱ و ۳ که در دهگان انتخاب نشده باقیماندهاست پس یک حالت. اگر رقم چهارم ۱ یا ۳ باشد پس دو حالت دارد. بعد برای یکان دو حالت یعنی ۰ یا ۲ داریم. بعد برای دهگان یکی از فردها و یکی از زوجها قبلا استفاده شدهاند پس ۴ منهای ۲ یعنی ۲ انتخاب مانده است. در آخر برای صدگان از ۲ تای بقیمانده در مرحلهٔ دهگان یکی برداشته شده پس یک حالت میماند. در کل تعداد ۴ رقمیهای زوجتان برابر شدهاست با:
$$(1\times 1\times 2\times 1)+(2\times 2\times \times 2\times 1)=2+8=10$$
پس احتمال خواسته شده برابر است با $\frac{10}{18}=\frac{5}{9}$.
از روش دیگر هم میتوان میانبُر زد برای محاسبهٔ این احتمال.
رقم چهارم عدد چهاررقمیتان با احتمال $\frac{1}{3}$ دو است و با احتمال $\frac{2}{3}$ یک یا سه. در حالت اول رقم یکانتان با احتمال $\frac{1}{3}$ صفر است و در حالت دوم رقم یکانتان با احتمال $\frac{2}{3}$ صفر یا دو. پس احتمال زوج بودن عدد چهاررقمیتان برابر است با:
$$(\frac{1}{3}\times\frac{1}{3})+(\frac{2}{3}\times\frac{2}{3})=\frac{1}{9}+\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$$
