بدون کاستن از کلیت پارهخط $AB$ را روی محور $x$ها و نقطهٔ $A$ را روی مبدأ مختصات در نظر بگیرید (این کار با یک دوران و یک انتقال شدنی است که اندازهٔ هیچیک از پارهخطها و زاویههای گوشهها را دگرگون نمیکند). پس مختصات نقطههای $A$ و $M$ برابر میشوند با $(0,0)$ و $(2\sqrt{13},0)$. مختصات نقطهٔ $D$ را با $(x,y)$ نمایش دهید. در اینصورت با توجه به دادههای پرسش، دستگاه دو برابری-دو مجهول زیر را داریم که البته ناخطی است.
$$\begin{cases}
(x-0)^2+(y-0)^2=6^2\\
(x-2\sqrt{13})^2+(y-0)^2=4^2
\end{cases}$$
میتوانید با سادهسازی، برای نمونه کم کردن دو برابری از یکدیگر از $y^2$ رها شوید و سپس یک برابر درجهٔ دوی تکمتغیره بدست آورید و ادامه دهید و توجه کنید که $D$ در یکچهارمِ نخست صفحه قرار دارد پس اگر چند پاسخ بدست آوردید باید توجه کنید که تنها پاسخی که در شرطهای $x>0$ و $y>0$ صدق کنند پذیرفته هستند. به هر حال به جای انجام دستیِ آن با نرمافزار نیز میتوانید این کار را انجام دهید که در زیر کُدِ نرمافزار Mathematicaاش را آوردهام.
Solve[(x-0)^2+(y-0)^2==6^2 && (x-2*Sqrt[13])^2+(y-0)^2==4^2 && x>0 && y>0,{x,y}]
که پاسخ پذیرفتنیِ آن یکتا است $(\tfrac{18}{\sqrt{13}},\tfrac{12}{\sqrt{13}})$. اکنون توجه کنید که اندازهٔ یالِ بالاییِ ذوزنقهٔ متوازیالأضلاعمان یعنی $CD$ برابر است با $|AB|-2|AH|$ که $H$ نقطهٔ پایِ عمود از گوشهٔ $D$ بر یال $AB$ است. خوشبختانه به خاطر چهارچوبی که از ابتدا ایجاد کردیم $|AH|$ برابر با $x$ و حتی $|DH|$ برابر با $y$ است. پس بدون انجام هیچ محاسبهٔ بیشتری اندازهٔ یال $CD$ را هماکنون در اختیار داریم. در نتیجه محیط ذوزنقهٔ $ABCD$ برابر است با:
\begin{align}
|AB|+|BC|+|AD|+|CD| &= 4\sqrt{13}+2(6)+(4\sqrt{13}-2\big(\tfrac{18}{\sqrt{13}})\big)\\
&= 12+8\sqrt{13}-\tfrac{36}{\sqrt{13}}\\
&\simeq 30.8595
\end{align}
اگر برایتان سوال است که چرا میدانیم این چهاریالی، یک ذوزنقهٔ متوازیالأضلاع است. توجه کنید که به راحتی با تقارن و هندسهٔ راهنمایی میتوانید ببینید که $DH$ و $CH'$ (که $H'$ نقطهٔ پای ارتفاع بر یال $AB$ از نقطهٔ $C$ است) اندازهٔ یکسان دارند. اگر دو نقطهٔ متمایز از خطِ الف هر دو از خط ب یک فاصلهٔ برابر داشته باشند آنگاه خط الف با خط ب موازی است.
