دو حالت داریم یا افراد متمایز هستند و مهم است که فرد یکم با فرد چندم در یک گروه دوتایی قرار میگیرد یا اینکه هیچ فرقی نمیکنند. در حالت دوم به طور بدیهی پاسخ میشود ۱ چون ۱۰ تا شی را به یک حالت به پنج تا دو تا شی تقسیم میشود کرد وقتی که شی یک با دو فرقی با شی یک با سه ایجاد نکند. پس برویم سراغ حالت نخست که افراد متمایز تفاوت ایجاد کنند. پس فرض کنیم این افراد یا شمارههای ۱ تا ۱۰ شمارهگذاری شدهاند. چون گروهها ترتیبگذاری نشدهاند پس اینکه نفر یک و دو در گروه اول باشند یا اینکه در گروه دوم باشند فرقی ایجاد نمیکند. بدون کاستن از کلیت اول بیایید همگروهیِ نفر شمارهٔ ۱ را انتخاب کنیم. پس توجه کنید که ۱ اتخاذ شدهاست، باید یک نفر از ۹ نفر باقیمانده برداریم که به $\binom{9}{1}$ حالت ممکن است. اکنون ۲ نفر برداشتهشدهاند، نمیدانیم نفر دوم که بودهاست ولی مهم نیست، از بین هشت نفر باقیمانده، کوچکترین اندیس را بردارید. بیاییم همگروهی او را انتخاب کنیم، که به $\binom{7}{1}$ حالت ممکن است. دوباره از بین ۶ نفر باقیمانده کوچکترین اندیس را بردارید، از بین ۵ نفر باقیمانده $\binom{5}{1}$ انتخاب برای همگروهیاش وجود دارد. از ۴ نفر باقیمانده کوچکترین اندیس را بردارید، $\binom{3}{1}$ انتخاب برای همگروهیاش هست. از ۲ نفر باقیمانده، کوچکترین اندیس را بردارید، $\binom{1}{1}$ انتخاب برای همگروهیاش هست. در کل به روش مشابه ثابت میشود که برای هز عدد طبیعیِ $n$ای تعداد افرازهای $\lbrace 1,2,\cdots,2n\rbrace$ به زیرمجموعههای دوعضوی برابر است با $\prod_{i=1}^{\frac{n}{2}}\binom{2i-1}{1}$ که برابر است با $\prod_{i=1}^{\frac{n}{2}}(2i-1)$. اگر جایی برایتان مبهم است میتوانید با $n$های کوچک برای خودتان روند بالا را تکرار کنید. برای $n=2$ به افرازهای زیر میرسید
$$\begin{array}{l}\lbrace \lbrace 1,2\rbrace,\lbrace 3,4\rbrace\rbrace \\
\lbrace \lbrace 1,3\rbrace,\lbrace 2,4\rbrace\rbrace\\
\lbrace \lbrace 1,4\rbrace, \lbrace2,3\rbrace\rbrace
\end{array}$$
برای $n=5$ که پرسش شماست، تعداد این افرازها برابر با $9\times 7\times 5\times 3\times 1= 945$ میشود.
