به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
+1 امتیاز
46 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط

قضیه: فرض کنیم
‎$ G $‎ یک گراف باشد. در این صورت، گزاره‌های زیر معادلند:

1. ‎${ in}_{<} (J _ {G}) $‎ توسط عناصر از درجه‌ی ‎2‎ تولید شده و دارای خارج ‌قسمت‌های خطی است.

2. ‎$ G $‎ کامل است.

در اثبات قسمت $(2) \Rightarrow (1)$ برای به دست آوردن خارج قسمت‌های خطی چرا همون دو حالت رو در نظر گرفته است.

مرجع: ‎S‎. ‎Saeedi Madani and D‎. ‎Kiani. Binomial edge ideals of graphs‎. ‎The Electronic Journal of Combinatorics‎. ‎19(2)‎, ‎P44‎, ‎(2012)‎.

1 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط

دلیل این کار این است که تمام حالات یکی از این دو حالات میشوند(هستند)

اگر $( u_{1} ,..., u_{i-1} ): u_{i} $ را در نظر بگیریم که متغییر اول آنها $ x_{1} $ است طبق آنچه گفته شده تمام مولدها بصورت $ \frac{u_{j}}{gcd(u_{j},u_{i})} $ هستند که $ u_{j}$ دو متغییر دارد و $gcd(u_{j},u_{i})= x_{1}$ لذا مولد ها تک متغییره یا همان خطی هستند در این حالت حکم واضح است اما اگر فرض کنیم $u_{i}$ اولین باشد که متغییر اول آن $ x_{2} $ باشد این همان حالت اول بیان شده در مقاله است)به ازای $ l=1 $).

اگر $ u_{i} $ اولین نباشد که متغییر اول آن $ x_{2} $ باشد برابر حالت دوم می شود با ادامه ی این روند هر بار اگر یکی از $ u_{i} $ ها را که متغییر اول آن $ x_{2} $ است اضافه کنیم حالت دوم می شود به محض اینکه متغییر اول آن $ x_{3} $ شد حالت اول می شود و....

به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید!
کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
حمایت مالی
...