ایده‌آل یالی دوجمله‌ای

Question

قضیه: فرض کنیم
‎$G$‎ یک گراف باشد. در این صورت، گزاره‌های زیر معادلند:

1. ‎${ in}_{< } (J _ {G})$‎ توسط عناصر از درجه‌ی ‎2‎ تولید شده و دارای خارج ‌قسمت‌های خطی است.

2. ‎$G$‎ کامل است.

در اثبات قسمت $(2) \Rightarrow (1)$ برای به دست آوردن خارج قسمت‌های خطی چرا همون دو حالت رو در نظر گرفته است.

Answer 1

دلیل این کار این است که تمام حالات یکی از این دو حالات میشوند(هستند)

اگر $( u_{1} ,..., u_{i-1} ): u_{i}$ را در نظر بگیریم که متغییر اول آنها $x_{1}$ است طبق آنچه گفته شده تمام مولدها بصورت $\frac{u_{j}}{gcd(u_{j},u_{i})}$ هستند که $u_{j}$ دو متغییر دارد و $gcd(u_{j},u_{i})= x_{1}$ لذا مولد ها تک متغییره یا همان خطی هستند در این حالت حکم واضح است اما اگر فرض کنیم $u_{i}$ اولین باشد که متغییر اول آن $x_{2}$ باشد این همان حالت اول بیان شده در مقاله است)به ازای $l=1$).

اگر $u_{i}$ اولین نباشد که متغییر اول آن $x_{2}$ باشد برابر حالت دوم می شود با ادامه ی این روند هر بار اگر یکی از $u_{i}$ ها را که متغییر اول آن $x_{2}$ است اضافه کنیم حالت دوم می شود به محض اینکه متغییر اول آن $x_{3}$ شد حالت اول می شود و....