احتمال قرار گرفتن مرکز دایره در مثلث ایجاد شده از سه نقطه روی محیط دایره

Question

سه نقطه روی محیط یک دایره به دلخواه قرار می‌دهیم.اگر با این سه نقطه یک مثلث ساخت چقدر احتمال دارد که مرکز دایره درون مثلث بیافتد؟! خودم با تقسیم کردن دایره به ۳۶۰ قسمت و با ترکیبی‌ات به جواب تقریبا هشت دهم رسیدم

Comments

@Moni پرسش را واضح تایپ کردید و مشکلتان را اشاره کردید، عنوان هم مناسب است. ولی «المپیاد یک کشور» به تنهایی مرجع‌دهی کامل نیست. یک کشور کلی المپیاد برگزار می‌کند. مقاطع مختلف، مراحل مختلف، سال‌های مختلف ... برای همین فقط با جستجوی «المپیاد آمریکا» کسی نمی‌تواند به المپیادی که این سوال در آن بوده‌است دست بیابد. اگر مرجع را ندارید، می‌توانید در متن پرسش اضافه کنید که در جایی دیده‌ام گفته‌اند این سوال در المپیادی در آمریکا بوده‌است. بخش مرجع، ستاره‌دار نیست که حتما پر شود.

---

@AmirHosein
حالا مرجع زیاد مهم نیست فکر کنم.جواب رو لازم دارم

---

@Moni منظور من این نبود که می‌خواهم برایتان مرجع پرسش‌تان را بیابم. منظور این بود که یا مرجع‌دهی را درست و کامل انجام دهید یا اینکه به جای نوشتنش در بخش مرجع، در ادامهٔ همان متن پرسش آن را بنویسید. برای این کار باید روی دکمهٔ مدادشکل زیر پست‌تان کلیک کنید و ویرایش لازم را انجام دهید. هر چقدر بیشتر به پست‌تان و ویرایش صحیحش ارزش قائل شوید، پاسخ‌دهندگان نیز بیشتر به پاسخ دادن پرسش‌تان راغب خواهند شد. بعلاوه همه خواهان پاسخ پرسش‌شان هستند، ولی مهم این است که آیا نیت یاد گرفتن است یا رفع تکلیف. جملهٔ آخر شما می‌تواند این حس را ایجاد کند که در دستهٔ دوم قرار دارید، لذا در انتخاب جملات دقت کنید.

Answer 1

یک سه‌گوش که گوشه‌هایش روی محیط یک دایره هستند، مرکز دایره را دربرمی‌گیرد اگر و تنها اگر هر سهٔ آنها در یک نیم‌دایره قرار نگیرند، دقیق‌تر؛ در یک سمت یک قطر از این دایره قرار نگیرند. بدون کاستن از کلیت می‌توانید یکی از سه‌نقطه‌تان را ثابت بگیرید (هر حالت دیگری با یک دوران دایره بر روی این حالت منطبق می‌شود). اکنون پرسش شما هم‌ارز با این می‌شود که دو نقطه که به تصادف از روی این دایره برمی‌دارید آیا در یک نیم دایره به همراه این نقطه می‌افتند یا خیر. مرکز دایره‌تان را مرکز یک صفحه در نظر بگیرید و خط واصل مرکز دایره و نقطهٔ نخست که مکانش را ثابت کرده‌اید را محور $x$ ها بنامید و جهتی که به سمت نقطهٔ نخست است را سمت مثبت محور $x$ ها فرض کنید. اکنون نقاط روی محیط دایره را می‌توانید با یک پارامتر معین کنید، $0\leq\theta< 2\pi$ (می‌توانید از ۰ تا ۱۸۰ هم بگیرید یا هر درجه‌بندی دیگر زاویه). نقطهٔ دوم را به تصادف (با توزیع یکنواخت پیوسته) از بازهٔ $[0,2\pi]$ انتخاب می‌کنیم. آنگاه نقطهٔ سوم در داخل یک نیم‌دایره به همراه این دو نقطه قرار نمی‌گیرد اگر ما بین $\pi$ و نقطهٔ روبروی نقطهٔ دوم باشد. به صورت مجموعه‌ای فضای نمونه مربع زیر است

$$[0,2\pi]\times[0,2\pi]$$ و پیش‌آمد خواسته‌شده، مجموعهٔ زیر است $$\lbrace (\theta_1,\theta_2)\mid 0< \theta_1< \pi,\;\pi< \theta_2< \pi+\theta_1\rbrace\cup\lbrace (\theta_1,\theta_2)\mid \pi< \theta_1< 2\pi,\;\theta_1-\pi< \theta_2< \pi\rbrace$$ احتمال خواسته‌شده برابر با مساحت مجموعهٔ پیش‌آمد بر مساحت فضای نمونه می‌شود.