حل دستگاه $\sqrt{x}+y=11, \sqrt{y}+x=7$

Question

دستگاه دو معادله دو مجهولی زیر را حل کنید.

$$\begin{cases} \sqrt{x}+y=11 \\ \sqrt{y}+x=7 \end{cases}$$

Comments

لطفا برای طرح سوال از امکانات تایپ سایت استفاده کنید.

---

$x=4$

$y=9$

برا حلشم میشه از حل دستگاه ها به روش غیرخطی (انلیز عددی) کمک گرفت به نظرم البته!!!!!!!!!!!

البته تو این روش باید یه حدس اولیه بزنی به کمک این روش بجواب واقعی نزدیکتر شی.

---

آیا $x$ و$y$ اعداد طبیعی هستند؟

---

لطفا راه حل

---

زیر 10،بله هستند

Answer 1

حل برای وقتی که $x,y$ صحیح باشند:

اولا باید $x,y\geq 0$ چون هر دو زیر رادیکال هستند.

ثانیا هر دو به صورت مربع کامل هستند زیرا $x=(11-y)^2$و $y=(7-x)^2$.

از طرفی چون $\sqrt x+y=11$ پس $0\leq y\leq 11$ و چون $\sqrt y+x=7$ لذا $0\leq x\leq 7$.

بنابراین تنها کاندیدهای ممکن برای $x$عبارت اند از $0,1,4$ و برای $y$ عبارت اند از $0,1,4,9$

بابررسی موارد بالا معلوم می شود جواب برابر است با $x=4$ و $y=9$.

---

حل معادله در حالت کلی:

قرار دهید: $a=\sqrt x$و $b=\sqrt y$ در اینصورت معادلات بالا به صورت زیر در می آیند:

$$\begin{cases}a +b^2=11\\b+a^2=7\end{cases}$$ داریم $b=7-a^2$ و لذا $a+(7-a^2)^2=11$ با ساده کردن به معادله ی $$a^4-14a^2+a+38=0$$ می رسیم. لذا کافی است این معادله را حل کنیم. راه هایی برای حل معادله درجه چهارم وجود دارد ولی خیلی طولانی و خسته کننده است . کافی است ببینید که $a=2$ یک ریشه ی این معادله است که $\sqrt x=2$ نتیجه می دهد $x=4$یک ریشه معادله است و از $y=(7-x)^2$ نتیجه می شود $y=9$. و با تقسیم عبارت $a^4-14a^2+a+38=0$ بر $(a-2)$ به معادله ی $a^3+2a^2-10a-19=0$ می رسید که با حل آن می توانید مابقی ریشه ها را به دست آورید.

ریشه های دقیق رو در اینجا ببینید: Wolframalpha

Comments

البته جوابی که نوشتم فقط برای حالتیه که $x,y$ اعدادی صحیح باشند.

---

تشکراز پاسخ  تان

---

@fardina
ایده ی جالبی به ذهنتون رسیده ولی اگه $x$ و $y$ صحیح نباشند و یا اینکه معادله طوری باشه که حدس زدن امکان پذیر نباشه چطور؟؟؟

---

@رها
به پاسخم حل معادله در حالت کلی رو اضافه کردم.

Answer 2

ابتدا

$\sqrt{x}, \sqrt{y} \geq 0$ به دليل اينكه هر دو در زير راديكال قرار گرفته اند

حال حل سوال

$$\begin{cases} \sqrt{x} +y=11& \\ \sqrt{y}+x=7 & \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}y= 11- \sqrt{x} & \\y= (7-x)^{2} & \end{cases}$$ $$11- \sqrt{x}=49+ x^{2}-14x \Longrightarrow x^{2}-14x+ \sqrt{x} =-38$$ $$\Longrightarrow \sqrt{x} (x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-(2)(19)$$

وچون

$$\sqrt{x} \geq 0$$

$\sqrt{x}$ يا $19$ مي باشد يا $2$

حال اگر به جاي$\sqrt{x}$ ,$19$ را در معادله قرار دهيم يعني $19+y=11$ صدق نميكند زيرا جمع $19$ با يك عدد مثبت يا صفر($y$) هيچگاه $11$ نميشود

پس $\sqrt{x}=2 \Longrightarrow x=4$ ميشود .

واگر در معادله به جاي $x$ قرار دهيم $4$ مجهول ديگر يعني $y$ برابر مي شود با$y=9$

بنابراين

$$x=4, y=9$$

Comments

در واقع فرض کردید $x,y$ صحیح باشند و فقط جواب های صحیح را به دست آورده اید. چون از $\sqrt{x} (x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-(2)(19)$ فقط نتیجه گرفته اید که $\sqrt x$ برابر $19$ یا $2$ است. در حالیکه ممکن است مثلا برابر $\frac {19}2$ و $(x \sqrt{x}-14 \sqrt{x}+1)=-4$ باشدو یا حتی برابر عدد گنگی باشند.
ولی در صورتی که حل دستگاه را فقط برای اعداد صحیح بخواهیم در اینصورت پاسخ درست است.

---

بله شما درست مي فرمائيد

Answer 3

از معادله اول داریم:

$\sqrt{x} +y=11 \Rightarrow \sqrt{x} -2=9-y \Rightarrow \sqrt{x} -2=(3- \sqrt{y} )(3+ \sqrt{y} )$

و از معادله دوم داریم:

$x-4=3- \sqrt{y} \Rightarrow ( \sqrt{x} -2)( \sqrt{x} +2)=3- \sqrt{y}$

حالا اگر معادله بالا را در پایینی جایگذاری کنیم داریم:

$\Rightarrow (3- \sqrt{y} )(3+ \sqrt{y} )( \sqrt{x} +2)=(3- \sqrt{y} )$

$\Rightarrow (3- \sqrt{y} )(3+ \sqrt{y} )( \sqrt{x} +2)-(3- \sqrt{y} )=0$

$(3- \sqrt{y} )[(3+ \sqrt{y} )( \sqrt{x} +2)-1]=0$

حالا از $(3+ \sqrt{y} )( \sqrt{x} +2) \geq 6$ نتیجه می شود که $(3+ \sqrt{y} )( \sqrt{x} +2)-1 \neq 0$ لذا داریم:

$3- \sqrt{y} =0 \Rightarrow \sqrt{y} =3 \Rightarrow y=9$

$\Rightarrow \sqrt{x} +y=11 \Rightarrow \sqrt{x} +9=11 \Rightarrow \sqrt{x} =11-9=2 \Rightarrow x=4$

$\Box$