یک ابهام در بخشی از اثبات قضیه گرین

Question

در اثبات قضیه ی گرین

وقتی به این نقطه ای می رسیم: $ -\int_a^b P(x,y_{1}(x))dx -\int_b^a P(x,y_{2}(x))dx$ (با این فرض که منحنی موردبررسی را به دو قسمت بالا و پایین تقسیم کرده باشیم که معادله ی یکی y1 و دیگری y2 باشد، و همچنین a و b به ترتیب کمترین و بیشترین مقدار طول نقاط منحنی باشند.) آن را مساوی با $ -\oint_C Pdx $ درنظر می گیرند. سوال من این هست که آیا با توجه به وجود dx در انتگرال های بالا، این درست است که آن ها را انتگرال خط درنظر بگیریم؟ آیا انتگرال های معمولی نیستند؟ شاید من انتگرال خط را درست متوجه نشده ام، اما تا جایی که با آن آشنا شده ام در انتگرال خط معمولا جزء دیفرانسیلی را از منحنی ای می گیریم که روی آن حرکت می کنیم. یعنی ds. اما اینجا تنها dx حضور دارد، و نه مثلا جزئی دیفرانسیلی از مسیر STU و یا از مسیر SVU.

Comments

در واقع اگه دقت کنین می بینین که انتگرال خط رو به صورت دیگه ای (همون صورت که در قضیه گرین هست) نمایش میدن. الان در اینجا Q=0 فرض شده و اون انتگرال درواقع یک Q dy رو هم شامل میشه. پس در واقع یک انتگرال خط محسوب میشه ( مولفه دوم منحی رو صفر درنظر گرفته).

---

@kazomano سلام. کجا انتگرال خط رو به صورت دیگه ای نمایش می دن؟ نمی دونم منظورتون نگاه به کجا بود. شاید منظورتون اینه که F=Pi+Qj و ds=dxi+dyj و بعد ضرب داخلی این دو همون فرم انتگرال خط موجود در قضیه ی گرین رو تولید می کنه؟ خب آیا این کار واقعا در واقع حل انتگرال خط با کمک انتگرال های معمولی نیست؟ الان اصلا برای من سوال شد که چرا ما همیشه برای انتگرال های خط پارامتری سازی انجام می دیم! با همون x و y نمیشه انتگرال خط حل کرد؟ شاید بگید قضیه ی گرین، ولی خب آخه قضیه ی گرین خودش داره با همین فرضیات اثبات میشه! البته از نظر منطقی باید بشه انتگرال خط رو هم بدون پارامتری سازی حل کرد چونکه پارامتری سازی صرفا یه تغییر ظاهریه. منتهی بدون گرین نمی دونم چطوری میشه این کارو انجام داد. ببخشید اگه سوالات پی در پی پرسیدم.

---

الان فکر می کنم کاملا متوجه قضیه شدم. با نگاه کردن سه چهار دقیقه ی آخر این ویدئو و اون سایه ها رو که کشید:

. به نظرم شاید اینطوری میشه گفت که وقتی در انتگرالی dx و یا dy وجود داشته باشه با تقسیم اون ها بر dt و ضربدر dt، متوجه می شیم اونها هم انتگرال خط هستن و منتهی برای یکی S=X(t و برای دیگری S=Y(t. (از کمک شما ممنونم).