Question

ثابت کنید:

$$ a^{r} \mid b^{s} \Leftarrow mr \leq ns \wedge a^{n} \mid b^{m} $$

جواب خودم:

$$ a^{r} | b^{s} \Leftarrow a^{mr} | b^{ms} \Leftarrow ns > mr \wedge a^{ns} | b^{ms} \Leftarrow a^{n} | b^{m} $$

Comments

@aaa نخست رابطه شمردنی (عاد کردنی) که در فرض دارید را هر دو طرف را به توان $s$ برسانید. سپس از نامساوی ای که در فرض دارید استفاده کنید و یک شمردن فقط در مورد $a$ بدست بیاورید. دو رابطه جدید را مقایسه کنید.

---

جوابت درست است

Answer 1

با توجه به خاصیت تعدی بخشپذیری و بزرگترین مقسوم علیه مشترک داریم:

$ a^{n} | b^{m} , mr< ns \Rightarrow( a^{n} )^r | ( b^{m} )^r , b^{ns}= b^{mr} b^{ns-mr} \Rightarrow a^{nr} | b^{mr} , b^{mr} | b^{ns} \Rightarrow a^{nr} | b^{ns}$

$ \Rightarrow ( a^{nr} , b^{ns} )= a^{nr} \Rightarrow ( a^{r} , b^{s} )^n=( a^{r} )^n \Rightarrow \sqrt[n]{( a^{r} , b^{s} )^n} = \sqrt[n]{ ( a^{r} )^n} \Rightarrow ( a^{r} , b^{s} )= a^{r} \Rightarrow a^{r} | b^{s} $

$ \Box$