یا صورت سوال را درست متوجه نشدم یا حدس می زنم جواب واضح است.
فرض کنیم
$ a^{2} \times b^{2} =p^{ \alpha } q^{ \beta } r^{ \gamma }$
که در آن
$. \alpha , \beta , \gamma > 0$
در این حالت
$a$
و
$b$
به ناچار باید دارای تجزیه هایی به صورت
$a = p^{ \alpha _{1} } q^{ \beta _{1} } r^{ \gamma _{1} } $ و
$b = p^{ \alpha _{2} } q^{ \beta _{2} } r^{ \gamma _{2} }$ با$ \alpha _{i} , \beta _{i} , \gamma _{i} \geq 0$
باشند . چرا اگر قرار است عوامل اول دیگری غیر از این سه عامل داشته باشند در $a^{2} \times b^{2}$ ظاهر میشود که با فرض اولیه در تناقض است. بنابر این خواهیم داشت
$$ a \times b = p^{ \alpha _{1} + \alpha _{2} } q^{ \beta _{1} + \beta _{2} } r^{ \gamma _{1} + \gamma _{2} } $$و
$$a^{2} \times b^{2}=p^{2{( \alpha _{1} + \alpha _{2} })} q^{ 2( \beta _{1} + \beta _{2} )} r^{2( \gamma _{1} + \gamma _{2} )} $$
یعنی
$$ 2 ( \alpha _{1} + \alpha _{2} ) = \alpha > 0 $$و$$ 2 ( \ \beta _{1} + \beta _{2} ) = \beta > 0 $$و
$$ 2 ( \ \ \gamma _{1} + \gamma _{2} ) = \gamma > 0 $$که از این نیز داریم
$$ \ \alpha _{1} + \alpha _{2} > 0 , \beta _{1} + \beta _{2} > 0, \gamma _{1} + \gamma _{2} > 0
$$
و حکم تمام است.
