ورودی تیزهوشان$93$ تعیین تعداد اعداد طبیعی

Question

اگر $A$ و $B$ دو مجموعه باشند. $A \Diamond B$ را بصورت زیر تعریف می کنیم.

$$A \Diamond B= \big\{ \frac{a}{b} \mid a \in A , b \in B , b \neq 0\big\}$$ با توجه به این تعریف اگر $A$ مجموعه ی اعداد طبیعی سه رقمی باشد در این صورت چه تعداد از اعضای مجموعه ی $A \Diamond A$ عددی طبیعی هستند؟

Answer 1

بنابر تعریف داریم:

$$A \Diamond A =\big\{ \frac ab: a,b\in\big\{100,101,...,999\big\}\big\}$$ لذا $1=\frac{100}{100}\leq \frac ab\leq \frac{999}{100}=9.99$ . حال $\frac ab$ عددی طبیعی است هرگاه $\frac ab\in \mathbb N$ . لذا باید $\frac ab=1$ یا $\frac ab=2$یا ...یا $\frac ab=9$ .

یعنی تعداد اعضای مجموعه برابر $9$ است.

Comments

توجه کنیددر حالت های زیادی باز عدد $1$ بدست می آید. مثلا $100/100=101/101=...$
اما چون مجموعه داریم همه یک عضو از مجموعه محسوب میشوند.