ورودی تیزهوشان$93$ تعیین تعداد اعداد طبیعی

Question

اگر $ A $ و $ B$ دو مجموعه باشند. $A \Diamond B $ را بصورت زیر تعریف می کنیم. $$A \Diamond B= \big\{ \frac{a}{b} \mid a \in A , b \in B , b \neq 0\big\} $$ با توجه به این تعریف اگر $ A $ مجموعه ی اعداد طبیعی سه رقمی باشد در این صورت چه تعداد از اعضای مجموعه ی $A \Diamond A $ عددی طبیعی هستند؟

Answer 1

بنابر تعریف داریم: $$ A \Diamond A =\big\{ \frac ab: a,b\in\big\{100,101,...,999\big\}\big\}$$ لذا $ 1=\frac{100}{100}\leq \frac ab\leq \frac{999}{100}=9.99 $ . حال $ \frac ab $ عددی طبیعی است هرگاه $\frac ab\in \mathbb N $ . لذا باید $ \frac ab=1 $ یا $ \frac ab=2 $یا ...یا $\frac ab=9 $ .

یعنی تعداد اعضای مجموعه برابر $9$ است.

Comments

توجه کنیددر حالت های زیادی باز عدد $1$ بدست می آید. مثلا $100/100=101/101=...$
اما چون مجموعه داریم همه یک عضو از مجموعه محسوب میشوند.