ابتدا $E_{3} $ را میابیم. چون$E $ توسط$ e_{1} ,e_{2} ,e_{3} ,e_{4} $ تولید می شود لذا $ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} $و$ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{4} $و$e_{1} \wedge e_{3} \wedge e_{4} $و$ e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4} $ در $ E$ هستند و چون درجه $3$ هستند لذا در $E_{3} $ قرار دارند. وبه سادگی میتوان دید که فقط همین$4$ پایه را دارد.
برای بدست آوردن $J_{3}$ چون $ e_{1} \wedge e_{2} + e_{3} \wedge e_{4} $ در $J$ است لذا اگر آن را با $e_{3} $ وج دهیم باز در $J $ است لذا
$$( e_{1} \wedge e_{2} + e_{3} \wedge e_{4})\wedge e_{3}=e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} +e_{3} \wedge e_{4} \wedge e_{3}=e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} +0 \in J $$
بطور مشابه هر بار با $e_{i} $ وج میدهیم و تمام پایه های $E_{3} $ تولید میشوند لذا $J_{3}= E_{3}$
همچنین $E_{4}$ توسط $ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4} $ تولید میشود و اگر مولد $J $ را با $ e_{3} \wedge e_{4} $ وج دهیم همین عنصر پدید می آید لذا$ J_{4}= E_{4} $ و حکم اول ثابت شد.
برای یافتن ${\rm in }_{ \prec}(J) $ ابتدا دقت میکنیم که در $ J $ عنصر از درجه ی $5$ نداریم تمام عناصر در $J$
ترکیبات خطی از عناصری هستند که در بالا ذکر شده است اگر انیش هر یک را حساب کنیم عناصر زیر را داریم:
$$e_{1} \wedge e_{2} \ \ ,\ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} \ \ ,\ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{4} \ \ ,\ e_{1} \wedge e_{3} \wedge e_{4} \ \ ,\ e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4}$$
و
$$ e_{1} \wedge e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4} $$
که از بین آنها مینیمال مولد را انتخاب میکنیم لذا $ {\rm in }_{ \prec}(J)=( e_{1} \wedge e_{2},e_{1} \wedge e_{3} \wedge e_{4} ,e_{2} \wedge e_{3} \wedge e_{4})$
