اینکه نخستین بار اقلیدس این گزاره را ثابت کردهاست یا فرد دیگری را من نمیدانم ولی اثبات این گزاره کار خاصی ندارد و تنها با آشنا بودن با دنبالههای هندسی، تعریف عدد اول و عدد تام و قضیهٔ اساسی حساب میتوان سریع آن را حدس زد.
چون $2^x-1$ را اول فرض کردید پس تجزیهٔ عدد $y=2^{x-1}(2^x-1)$ به حاصلضرب شمارندههای اولش دقیقا همین نمایشِ کنونیاش میشود. پس بدیهیا تمام شمارندههایش برابر میشوند با
$$\{1,2^1,\cdots,2^{x-2},2^{x-1},\;(2^x-1),2(2^x-1),\cdots,2^{x-1}(2^x-1) \} $$
اکنون توجه کنید که $y$ تام میشود اگر جمع همهٔ شمارندههایش غیر از خودش، برابر با خودش شود. پس باید تمام اعضای مجموعهٔ بالا غیر از عضو آخر را با هم جمع کنیم و ببینیم آیا برابر خودش میشود یا خیر. توجه کنید که اعضای این مجموعه را میتوان در دو دسته گذاشت. دستهٔ یک شامل توانهای ۲ از صفر تا $x-1$ است و دستهٔ دو شامل همان اعضای دستهٔ یکُم است که در $2^x-1$ ضرب شدهاند. پس جمع مربوطه برابر است با
$$\sum_{i=0}^{x-1}2^i+\sum_{i=0}^{x-1}2^i(2^x-1)$$
اما خود عدد $y$ را نباید جمع کنیم پس این عدد را از جمع بالا حذف میکنیم.
$$\sum_{i=0}^{x-1}2^i+\sum_{i=0}^{x-1}2^i(2^x-1)-2^{x-1}(2^x-1)=\sum_{i=0}^{x-1}2^i+\sum_{i=0}^{x-2}2^i(2^x-1)$$
به یاد آورید که جمع جملهٔ شروع، $i=0$ تا جملهٔ $r$اُم، $i=r-1$، یک دنبالهٔ هندسی با قدر نسبت $q$ و جملهٔ شروع $a$ برابر میبود با
$$a+aq+aq^2+\cdots+aq^{r-1}=a(\frac{1-q^r}{1-q})$$
پس نتجیهٔ آخر برابر است با
$$\begin{array}{ll}
\sum_{i=0}^{x-1}2^i+\sum_{i=0}^{x-2}2^i(2^x-1) & =1(\frac{1-2^x}{1-2})+(2^x-1)(\frac{1-2^{x-1}}{1-2})\\
& =(2^x-1)+(2^x-1)(2^{x-1}-1)\\
& =(2^x-1)\Big(1+2^{x-1}-1)\\
& =2^{x-1}(2^x-1)=y
\end{array}$$
