ایراد راه حلم درباره این مسئله حد مثلثاتی کجاست؟

Question

سلام و وقت بخیر. من سوال زیر که مربوط به کنکور ریاضی 86 هست از دو راه مختلف حل میکنم به دو جواب متفاوت میرسم که یکیش درسته اما هر دو به نظرم درست میان. در هر دو راه حل از یک فرمول که مربوط به هم ارزیه استفاده میکنم. میشه به من بگید ایراد راه حل غلطم کجاست؟

سوال:

حل درست بعلاوه فرمول مدنظر:

حل نادرست:

پیشاپیش ممنونم

Comments

به محفل ریاضی خوش آمدید. اینجا میتوانید فرمول های ریاضی را تایپ کنید(پاسخ من را ببینید).
راهنمای تایپ ریاضی:
https://math.irancircle.com/56
https://math.irancircle.com/52

---

@pooya2000 فکر نکنید که پس از اینکه پرسش‌تان پاسخ گرفت دیگر نیازی نیست پست پرسش‌تان را ویرایش کنید. اگر پست‌هایتان را بدون ویرایش رها کنید این را نشان می‌دهید که برای پرسش‌هایتان به اندازهٔ چند لحظه ویرایش کردن ارزش قائل نیستید و بعدها پرسش‌هایتان به جای پاسخ‌گرفتن، بی‌پاسخ رها خواهند شد یا ممکن است اصلا بسته شوند.

Answer 1

به نظر میرسه در دومی از هم ارزی $\lim_{u\to 0}\sin u\approx u$ در مساله استفاده می کنید. ولی $u=\frac 1{2x}$ به سمت صفر میل نمی کند که بتوانید از همچین خاصیتی استفاده کنید.

حل اول هم در به دست آوردن حد $\lim_{x\to 0}\frac{2}{x\sin\frac 1{2x}}$ اشتباهی انجام دادید. از قضیه فشردگی می دانیم $\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{2x}=0$. همچنین از قضایای حد می دانیم اگر $ \lim_{x\to a} f(x)=0$ و تابع $f$ در یک همسایگی $a$ مثبت باشد آنگاه $\lim_{x\to a}\frac{1}{f(x)}=\infty$ و اگر در این همسایگی منفی باشد آنگاه جواب حد $-\infty$ می شود. اما در اینجا هیچ همسایگی از صفر وجود ندارد که $x\sin \frac{1}{2x}$ در آن مثبت یا منفی باشد. در واقع در همسایگی های صفر این تابع به صورت شدیدی نوسان دارد و لذا به صورت مثبت و منفی است. بنابراین حد $x\sin \frac{1}{2x}$ به صورت تعریف نشده بین مثبت و منفی بی نهایت است.