چرا گردایهٔ مجموعه های متناهی یا متمم متناهی جبر است و گردایهٔ مجموعه هایی که خودشان یا متمم شان زیرمجموعهٔ مجموعهٔ خاصی هستند یک $\sigma$-جبر است؟

Question

اگر $X$ مجموعه‌ای نامتناهی باشد ثابت کنید که:

الف) مجموعهٔ $S$ شامل $A$های زیر مجموعهٔ $X$ که $A$ یا متمم $A$ متناهی باشد، یک جبر روی $X$ است.

ب) اگر $A$ یک زیرمجموعهٔ ناتهی از $X$ باشد و مجموعهٔ $S_A$ شامل $B$های زیرمجموعهٔ $X$ باشد که $B$ یا متمم $B$ زیرمجموعهٔ $A$ باشد، ثابت کنید $S_A$ یک $\sigma$-جبر روی $X$ است.

Comments

@Nima0700
۱- به عنوان دانشجوی کارشناسی ارشد انتظار می‌رود با LaTeX و نوشتن فرمول‌های ریاضی آشنا باشید (یا آشنا بشوید) به جای نوشتن Sa خیلی راحت با امکانات تایپ ریاضی سایت می‌توانید $S_A$ بنویسید.
۲- عنوان پرسش‌تان نیز به تنهایی چیزی روشن نمی‌کند، A، Sa، X چه هستند؟
۳- اصلا تعریف $\sigma$-جبر را قبل از شروع به نگاه کردن به این تمرین متوجه شده‌اید؟ تلاش خودتان برای حل این پرسش چه بوده‌است؟
۴- بهتر نبود اول فقط یکی از این دو بند تمرین را می‌پرسیدید و زمانی که پاسخ دریافت کردید سعی کنید تا با آنچه از پاسخ یک قسمت آموختید، قسمت دیگر را خودتان فکر کنید و تلاش کنید که حل کنید؟
۵- قبل از پرسیدن این سوال جستجویی کرده‌اید که ببینید در مراجع‌تان یا همین سایت چیزی مرتبط آمده‌است یا خیر؟

---

@Nima0700 متن‌تان را نیز بد نبود یک بار دیگر می‌خواندید. «مجموعهٔ $A$ شامل $A$هایِ ...» یک مجموعه شامل خودش‌ها؟ یک مجموعه شامل خودش نمی‌شود چه برسد خودش‌ها. در نوشتن دقت کنید.
به ویرایشی که روی عنوان و متن پرسش برایتان انجام دادم نگاه کنید.

Answer 1

الف) مجموعهٔ تهی عضو $S$ است چون متناهی است. مجموعهٔ $X$ عضو $S$ است چون متممش یعنی تهی متناهی است. پس شرط یکُمِ جبر بودن برقرار است. اگر $A$ یک عضو از $S$ باشد آنگاه دو حالت داریم. یک؛ $A$ متناهی است، آنگاه متممِ $A^c$ متناهی است پس $A^c\in S$. دو؛ متمم $A$ متناهی است پس خود $A^c$ متناهی است و دوباره $A^c\in S$. پس شرط دوم جبر بودن نیز برقرار است. اکنون دو مجموعهٔ دلخواه از $S$ بردارید مانند $A_1$ و $A_2$. اگر هر دو متناهی باشند آنگاه $A_1\cup A_2$ نیز متناهی است. اگر هر دو متمم‌شان متناهی باشند آنگاه چون متمم اجتماعشان برابر با اشتراک متمم‌هایشان است (قانون دمورگان) و اشتراک دو مجموعهٔ متناهی، متناهی است پس $(A_1\cup A_2)^c$ متناهی است. اگر یکی از آن دو متناهی و دیگری متممش متناهی باشد، بدون کاستن از کلیت فرض کنید $A_1$ متمم متناهی دارد و $A_2$ خودش متناهی است. زمانی که اعضای $A_2$ را به $A_1$ می‌افزائیم رویدادی که رخ می‌دهد این است که شاید چند تا از متناهی عنصری که در $A_1$ نیستند به آن اضافه شوند پس در واقع $(A_1\cup A_2)^c$ زیرمجموعه‌ای از $A_1^c$ است که دوباره متناهی می‌ماند. غیر از این سه حالت، حالت دیگری نیست پس نشان دادیم که $S$ نسبت به اجتماع هر دو عضوش (و به طبع با یک استقراء ریاضی نسبت به اجتماع متناهی اعضایش) بسته است. با تکمیل شدن شرط سوم، جبر بودن $S$ بر روی $X$ را ثابت کردیم. اما چرا الزاما $\sigma$-جبر نیست؟ چون $X$ نامتناهی فرض شده‌است پس یک زیرمجموعه با عدد اصلی برابر با عدد اصلی عددهای طبیعی دارد. اعضای این زیرمجموعه را در تناظر با عددهای طبیعی قرار دهید و با $a_n$ که $n\in\mathbb{N}$ نمایش دهید. اکنون مجموعه‌های تک‌عضوی $\lbrace a_{2k}\rbrace$ را در نظر بگیرید. این مجموعه‌ها در $S$ هستند چون متنهای (تک‌عضوی) هستند. اما اجتماع شمارای آنها یعنی $\cup_{k\in\mathbb{N}}\lbrace a_{2k}\rbrace$ نامتناهی است و متممش هم نامتناهی است چون دست‌کم تمام $a_{2k-1}$ها برای $k\in\mathbb{N}$ را دارد. پس $S$ نسبت به اجتماع ناشمارای اعضایش بسته نیست.

ب) مجموعهٔ تهی عضو $S_A$ است چون تهی زیرمجموعهٔ هر چیزی و در نتیجه $A$ نیز است. مجموعهٔ $X$ نیز عضو $S_A$ است چون متممش یعنی تهی زیرمجموعهٔ $A$ است. اکنون اگر $B$ زیرمجموعهٔ $A$ باشد، پس متمم $B^c$ زیرمجموعهٔ $A$ است. اگر متمم $B$ زیرمجموعهٔ $A$ باشد پس خود $B^c$ زیرمجموعهٔ $A$ است. گردایهٔ $\lbrace B_i\rbrace$ را یک گردایهٔ دلخواه از اعضای $S_A$ بردارید، تعدادشان دلخواه می‌تواند باشد حتی ناشمارا. اگر دست‌کم یکی از آنها مانند $B_0$ متممش زیرمجموعهٔ $A$ باشد آنگاه چون $(\cup_i B_i)^c\subseteq B_0^c$، این اجتماع نیز به $S_A$ متعلق خواهد بود. اکنون فرض کنید که متمم هیچ یک زیرمجموعهٔ $A$ نبوده‌است. پس برای هر اندیسی داریم که $B_i\subseteq A$ که در نتیجه دارید $\cup_i B_i\subseteq A$ و دوباره این اجتماع متعلق به $S_A$ است. چون نسبت به اجتماع دلخواه بسته است پس نسبت به اجتماع شمارا نیز بسته است و یک $\sigma$-جبر می‌شود.