مجموعه نقاطی که در آنها یک دنباله از توابع حقیقی اندازه پذیر همگراست، مجموعه ای اندازه پذیر است

Question

اگر $f,g:X\to [-\infty, \infty]$ توابع اندازه پذیر باشد

الف) در مورد مجموعه های زیر چه می توان گفت؟

$A=\{x|f(x)=g(x)\}$ ، $B=\{x|f(x)>g(x)\}$ و $D=\{x|f(x)<g(x)\}$

ب) ثابت کنید مجموعه نقاطی که در آنها یک دنباله از توابع حقیقی اندازه پذیر همگراست، مجموعه ای اندازه پذیر است .

اگه امکان داره قسمت ب را حل کرده و توضیح دهید

Comments

آنگاه چه چیزی اندازه پذیر است؟

---

در واقع قسمت ب گفته ثابت کنید مجموعه نقاطی که در انها یک دنباله از توابع حقیقی اندازه پذیر همگرا باشد اندازه پذیر است

---

بله همگرا بودن رو ننوشته بودید. من سوالتون رو ویرایش کردم. لطفا ویرایش بزنید و ببینید چطوری تایپ کردم. همچنین راهنمای تایپ سایت را بخوانید. به هر حال موقع نوشتن پایان نامه باید این روش تایپ رو یاد بگیرید.

---

ممنونم خیلی لطف کردید بله حتما سعی میکنم یاد بگیرم

---

ببخشید من یه سوال از آنالیز حقیقی دارم که انتگرال  است ولی تایپش برام مشکله روش دیگه ای نیست من سوالمو بپرسم از شما

---

لطفا راهنمای تایپ سایت را ببینید:
https://math.irancircle.com/8627
https://math.irancircle.com/56
https://math.irancircle.com/14785

Answer 1

فرض کنید $f_n:X\to [-\infty, \infty]$ دنباله ای از توابع اندازه پذیر باشد. نشان می دهیم مجموعه ی $$A=\{x\in X: \lim_{n}f_n(x)=\text{exists}\}$$ یک مجموعه اندازه پذیر است.

از قبل می دانیم که توابع $g=\limsup_n f_n$ و $h=\liminf_n f_n$ اندازه پذیرند. و مجموعه نقاطی که در آنها حد $\lim_nf_n(x)$ وجود دارد همان نقاطی هستند که $\liminf f_n(x)=\limsup_nf_n(x)$ پس $$A=\{x\in X:g(x)=h(x)\}$$ از قسمت الف هم می دانید که این مجموعه اندازه پذیر است.