همریختی همگن

Question

برای تعریف زیر یک مثال بیاورید.

فرض کنیم ‎$M$‎ و ‎$N$‎ دو ‎$R$-مدول ‎$\sigma$-مدرج باشند. ‎$R$‎-همریختی ‎$\varphi:M\longrightarrow N$‎ را همگن از درجه‌ی ‎$i\in\sigma$‎ گوییم، هرگاه برای هر ‎$\delta\in\sigma$‎، ‎$\varphi(M_{\delta})\subseteq N_{\delta+i}$‎. همچنین، ‎$R$‎-همریختی ‎$\varphi:M\longrightarrow N$‎ را همگن گوییم، هرگاه برای هر ‎$\delta\in\sigma$‎،

‎$\varphi(M_{\delta})\subseteq N_{\delta}$‎.

Answer 1

قرار دهید $S=K[ x,y,z ]$ و تعریف میکنیم $\varphi:S \rightarrow S$ که $w \longmapsto x^{3}w$ لذا با کمی دقت هر عنصر همگن از درجه ی $n$ به عنصری همگن از درجه ی $n+3$ نگاشته می شود. یعنی $\varphi( S_{i}) \subseteq S_{i+3}$ لذا همگن از مرتبه ی $3$ است.

اگر$\varphi$ بصورت $w \longmapsto 3w$ تعریف کنیم درجه ی هر جمله تغییر نمکند لذا $\varphi( S_{i}) \subseteq S_{i}$ .