همریختی همگن

Question

برای تعریف زیر یک مثال بیاورید.

فرض کنیم ‎$ M $‎ و ‎$ N $‎ دو ‎$ R $-مدول ‎$ \sigma $-مدرج باشند. ‎$ R $‎-همریختی ‎$ \varphi:M\longrightarrow N $‎ را همگن از درجه‌ی ‎$ i\in\sigma $‎ گوییم، هرگاه برای هر ‎$ \delta\in\sigma $‎، ‎$ \varphi(M_{\delta})\subseteq N_{\delta+i} $‎. همچنین، ‎$ R $‎-همریختی ‎$ \varphi:M\longrightarrow N $‎ را همگن گوییم، هرگاه برای هر ‎$ \delta\in\sigma $‎،

‎$ \varphi(M_{\delta})\subseteq N_{\delta} $‎.

Answer 1

قرار دهید $S=K[ x,y,z ] $ و تعریف میکنیم $ \varphi:S \rightarrow S $ که $ w \longmapsto x^{3}w $ لذا با کمی دقت هر عنصر همگن از درجه ی $ n $ به عنصری همگن از درجه ی $n+3 $ نگاشته می شود. یعنی $ \varphi( S_{i}) \subseteq S_{i+3} $ لذا همگن از مرتبه ی $3$ است.

اگر$ \varphi $ بصورت $w \longmapsto 3w $ تعریف کنیم درجه ی هر جمله تغییر نمکند لذا $ \varphi( S_{i}) \subseteq S_{i} $ .