در حلقه ی مدرج استاندارد $R=K[ x,y,z ]= $ ایده آل $I=(xy - z^{2}, x^{3} ) $ را در نظر میگیریم.
این ایده آل همگن است چون تک تک مولدها همگن هستند ایده آل همگن است( دقت کنید عنصری مانند $xy - z^{2} $ که دو بخش دارد و درجه ی هر بخش یکسان است همگن است)
$$R=K \bigoplus (K x \bigoplus K y \bigoplus K z) \bigoplus (K x^{2} \bigoplus K xy \bigoplus ... \bigoplus K z^{2}) \bigoplus ... $$
برای اینکه بخش دوم تعریف بهتر بیان بشه $I=(xz, y^{3} ) $ را در نظر میگیریم.
داریم $I= Kxz \bigoplus (Ky^{3} \bigoplus Kxzy \bigoplus K x^{2}z \bigoplus Kx z^{2} ) \bigoplus ... $ یعنی اگر$I= \bigoplus I_{i} $ آنگاه $I_{2} =Kxz $ و$I_{3} = Ky^{3} \bigoplus Kxzy \bigoplus K x^{2}z \bigoplus Kx z^{2}$
و اگر دقت کنیم $ R_{2} \cap I=(K x^{2} \bigoplus K xy \bigoplus ... \bigoplus K z^{2} ) \cap I =Kxz $ است. و بطور مشابه $ R_{i} \cap I= I_{i} $
برای بخش آخر میخواهیم عناصر از درجه ی $ i $ را در $ \frac{R}{I} $ مشخص کنیم و چون عناصر آن بصورت $r+I $ هستند باید $ r $ از درجه ی $i $ باشد و اگر این عنصر در $I $ باشد آنگاه صفر میشود لذا عناصر از درجه ی $ i $ در $ R $ را(یعنی $ R_{i} $) به مدول $ I $ در نظر میگیریم.یعنی $ r+I $ که $r \in R_{i}$ یا همان $ \frac{R_{i}}{I} $ همچنین اگر $ r \in I $ و چون همگن از درجه $ i$ است لذا در $ I_{i} $ قرار میگیرد پس کافیست $ \frac{R_{i}}{I_{i}} $ را بیابیم.
در مثال بالا داریم:
$$( \frac{R}{I}) _{1}= \frac{K x \bigoplus K y \bigoplus K z}{I} \\
( \frac{R}{I}) _{2}= \frac{K x^{2} \bigoplus K xy \bigoplus K xz \bigoplus K yz\bigoplus ... \bigoplus K z^{2}}{I} = \frac{K x^{2} \bigoplus K xy \bigoplus K yz\bigoplus ... \bigoplus K z^{2}}{I} $$
همانطور که مشاهده کردید $ K xz$ توسط $I $ جذب می شود.
