اثبات جزئا مرتب بودن مجموعه ها

Question

گیریم A و B مجموعه های غیر تهی هستند، آنگاه یا یک انژکسیون از A به B وجود دارد یا یک انژکسیون از B به A در اثبات این قضیه با تعریف رابطه ی $ \leq $ روی مجموعه $ \chi $ (که متشکل از تمام جفت های $(A_\alpha,f_\alpha)$ به طوری که $A_\alpha$ یک زیرمجموعه $A$ و $f_\alpha:A_\alpha \rightarrow B$ یک انژکسیون است، می باشد)به صورت زیر نشان دهید $( \chi , \leq )$ یک مجموعه جزئا مرتب است

$$( f_{ \alpha}, A_{ \alpha }) \leq ( f_{ \beta } , A_{ \beta }) \longleftrightarrow A_{ \alpha } \subseteq A_{ \beta } , f_{ \alpha }\subseteq f_{ \beta } $$

Comments

@saragh79  
سوال رو اشتباه نوشته بودید. ویرایش کردم. واقعیت اینه که جزئا مرتب بودن رابطه بدیهیه.

---

@kazomano
خب چرا بديهيه؟ چه رابطه اى وجود داره كه بديهى بودنش رو نشون ميده؟

Answer 1

فرض کنیم $(A_\alpha,f_\alpha)\in \chi$ آنگاه چون $A_\alpha \subseteq A_\alpha$ و $f_\alpha \subseteq f_\alpha$ پس $ (A_\alpha,f_\alpha) \le (A_\alpha,f_\alpha) $ این میشه انعکاسی. فرض کنیم $(A_\alpha,f_\alpha)\le (A_\beta,f_\beta)$ و $(A_\beta,f_\beta)\le(A_\alpha,f_\alpha)$ آن گاه $A_\alpha \subseteq A_\beta,A_\beta \subseteq A_\alpha$ و $f_\alpha \subseteq f_\beta, f_\beta \subseteq f_\beta$. پس $A_\alpha= A_\beta, f_\alpha=f_\beta$ و بنابراین $(A_\alpha,f_\alpha)=(A_\beta,f_\beta)$ این یعنی پادتقارنی. به همین ترتیب تعدی بودن ثابت میشه (خودتون بررسیش کنین حتما). پس رابطه ترتیب جزئی می باشد.