در شکل محاطی $ABCD$ قطر های $BD$ و $AC$ بر هم عمودند ثابت کنید $2OH=CD$

Question

در چهارضلعی محاطی $ABCD$ اقطار $AC$ و $BD$ بر یکدیگر عمودند، ثابت کنید فاصله مرکز دایره محیطی از ضلع $AB$، برابر نصف طول ضلع $CD$ است.

باتمام قضایای مربوط به وتر های دایره عمود منصف ها و چهارضلعی های محاطی و شعاع های دایره امتحان کردم اما جواب نداد

Answer 1

در شکل زیر :

داریم: (در ادامه نام زاویه ها آورده شده) $$ \hspace{-2cm} \begin{align*} &A_2=C_2 \Rightarrow A_2-C_2=0\\&A_1+A_2=D_1 \Rightarrow A_1+A_2=90-C_1\\&A_1=B_1+B_2 \Rightarrow A_1+A_2-C_2=B_1+B_2 \Rightarrow 90-C_1-C_2=B_1+B_2 \\&\Rightarrow O_2=B_1+B_2 \end{align*} $$

پس به دلیل وتر و یک زاویه مثلث های $OHB$ و $CH'O$ با هم همنهشت اند. پس $OH=H'C=\frac{1}{2}DC$.