به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
54 بازدید
در دبیرستان توسط m.afard (6 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

چند دستهٔ ۳تایی از اعداد طبیعی داریم که حاصلضرب هر ۲تای دلخواهی که از این ۳ عدد را با ۱ جمع کنیم به عدد مجذور کاملی برسیم؟ به عنوان مثال مجموعهٔ سه عدد زیر در این شرط صدق می‌کند. $$\lbrace 5,7,24\rbrace$$

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,004 امتیاز)
ویرایش شده توسط erfanm

بینهایت دسته ۳ تایی داریم برای $k$ فرد اعداد $ \frac{k+1}{2}+1 $ و $ \frac{k+1}{2}-1 $ و $2k+2$ خاصیت گفته شده را دارند.اما نحوه اثبات و رسیدن به این جواب:

حاصلضرب دو عدد به اضافه ۱ برابر مربع کامل می شود. فرض میکنیم مربع کامل برابر $n^2$ باشد. پس حاصلضرب دو عدد برابر $n^2-1$ است.که می توان دو عدد را به صورت $n+1$ و $n-1$ در نظر گرفت. حال کافیست عدد سوم را بیابیم. فرض کنید عدد سوم برابر $r$ باشد. پس باید $rn+r+1$ و $rn-r+1$ هر دو مربع کامل باشند. اختلاف این دو مربع کامل $2r$ است. به راحتی دیده می شود که اگر اختلاف دو مربع کامل زوج باشد حتما مضرب ۴ هم هست. یعنی r زوج است. پس دو مربع کامل هم فرد هستند. فرض کنید k فرد و مربع اول را $k^2$ می گیریم پس دیگری برابر $(k+2 )^2$ است. همانطور که گفتیم اختلاف این دو مربع کامل برابر ۲r است. یعنی $4k+4=2r$ پس $r=2k+2$ است.

$$rn+r+1=(k+2)^2$$

با حل این معادله مقدار n هم بدست می آید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...