اثبات اندازه هر زاویه مرکزی مساوی اندازه کمان مقابل آن است

Question

فرض من این است که دایره ای در نظر میگیریم 1/4 محیط آن زاویه ای 90 درجه ایجاد میکند که اگر بر حسب رادیان بیان شود 1/2π میشود و 1/4 محیط دایره 1/2πr میشود که r=1 است که اندازه هر زاویه مرکزی برابر با کمان مقابل آن میشود

Comments

@Ali mori تایپ ریاضی را از سایت مطاله کنید و اجرا کنید جملات شما واضح نیستند

Answer 1

برای اثبات اینکه اندازه‌ی هر کمان برابر زاویه‌ی مرکزی روبه‌روی آن است، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:

1. تعاریف اولیه:

کمان (Arc): بخشی از محیط دایره است که بین دو نقطه قرار دارد.

زاویه‌ی مرکزی (Central Angle): زاویه‌ای است که راس آن در مرکز دایره قرار دارد ضلع‌های آن دو شعاع دایره هستند که نقاط انتهایی کمان را به مرکز وصل می‌کنند.

2. فرضیه:

می‌خواهیم نشان دهیم که اندازه‌ی کمان $ AB $ ، که با $ \overset{\frown}{AB} $ نشان داده می‌شود، برابر است با اندازه‌ی زاویه‌ی مرکزی $ \theta $ که روبه‌روی آن کمان قرار دارد.

3. رابطه بین محیط دایره و زاویه‌ی مرکزی:

محیط کامل دایره $ 360^\circ $ است و متناظر با زاویه‌ی مرکزی $ 360^\circ $.

اگر زاویه‌ی مرکزی $ \theta $ باشد، نسبت این زاویه با $ 360^\circ $ برابر است با نسبت طول کمان $ \overset{\frown}{AB} $ به محیط کل دایره $ (2 \pi r) $.

$${ \frac{ \theta }{360}= \frac{طول\,کمان \,\overset{\frown}{AB}}{2 \pi r} }$$

4. محاسبه طول کمان:

با حل معادله‌ی بالا برای طول کمان $ \overset{\frown}{AB} $ :

$${طول\,کمان\,\overset{\frown}{AB}=( \frac{ \theta }{360} ) \times (2 \pi r)= \frac{ \theta \pi r}{180} }$$

اما در بسیاری از موارد، اندازه‌ی کمان بر حسب درجه (نه طول آن) مد نظر است، که در این صورت:

$${اندازه‌ی\,کمان\,\overset{\frown}{AB}\,بر\,حسب\,درجه}= \theta $$

یعنی اندازه‌ی کمان بر حسب درجه دقیقا برابر با زاویه‌ی مرکزی مقابل آن است.