به نام خدا،
سوال از ما می خواهد که ریشه های سوم عدد مختلط $z=1+i$ را بنویسیم .پس باید از مفهوم ریشه یک عدد مختلط استفاده کنیم، برای شروع عدد موردنظر را بفرم مثلثاتی می نویسم پس از رابطه زیر استفاده می کنیم :
$$ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}(cos(\frac{\theta +2k \pi }{n})+isin(\frac{\theta +2k\pi }{n})), \\,k=0, 1, 2, ... ,n-1$$
برای نوشتن بفرم مثلثاتی، ابتدا اندازه عدد مختلط $z=1+i$ را بدست می آوریم:
$$r= \sqrt{ 1^{2} + 1^{2} } = \sqrt{2} $$
سپس آرگومان اصلی عدد $z=1+i$ می یابیم:
$$ \theta = tan^{-۱} ( \frac{1}{1} )= \frac{ \pi }{4} $$
حال با توجه به فرم مثلثاتی ریشه $n$ام $z$ داریم:
$$\sqrt[3]{1+i} = \sqrt[3]{ \sqrt{2} }.( cos( \frac{ \frac{ \pi }{4} +2k \pi }{3} )+isin( \frac{ \frac{ \pi }{4}+2k \pi }{3} ))\ ,\,\\\\\\\
k=0, 1, 2,...,n-1 $$
به ازای $ k=0, 1, 2 $ ریشه های سوم عدد $z $ را بدست می آوریم:
$$k=0 \rightarrow \sqrt[3]{1+i} = \sqrt[3]{ \sqrt{2} }.( cos( \frac{ \frac{ \pi }{4} +0 }{3} )+isin( \frac{ \frac{ \pi }{4}+0 }{3} ))=\ \sqrt[6]{2} .(cos( \frac{ \pi }{12}) +isin( \frac{ \pi }{12} ))= \sqrt[6]{2}( \frac{ \sqrt{6} +\sqrt{2} }{4} +i \frac{ \sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} ) $$
$$k=1 \rightarrow \sqrt[3]{1+i} = \sqrt[3]{ \sqrt{2} }.( cos( \frac{ \frac{ \pi }{4} +2 \pi }{3} )+isin( \frac{ \frac{ \pi }{4}+2 \pi }{3} ))= \sqrt[6]{2} .(cos( \frac{ 3\pi }{4}) +isin( \frac{ 3\pi }{4} ))= \ \sqrt[6]{2}.(- \frac{ \sqrt{2} }{2}+i\frac{ \sqrt{2} }{2}) $$
$$k=2 \rightarrow \sqrt[3]{1+i} = \sqrt[3]{ \sqrt{2} }.( cos( \frac{ \frac{ \pi }{4} +4\pi }{3} )+isin( \frac{ \frac{ \pi }{4}+4 \pi }{3} ))= \sqrt[6]{2} .(cos( \frac{ 17\pi }{12}) +isin( \frac{ 17\pi }{12} )) =\sqrt[6]{2}.(cos( \pi + \frac{5\pi}{12} )+isin( \pi +\frac{5\pi}{12}))=\sqrt[6]{2}.(-cos\frac{5\pi}{12}-isin(\frac{5\pi}{12}))=\ \sqrt[6]{2}.( \frac{ -\sqrt{6} +\sqrt{2} }{4} +i \frac{ -\sqrt{6}- \sqrt{2} }{4} )$$
برای محاسبات مثلثاتی در نسبت های با کمانهای ۱۵ و ۷۵ درجه($ \frac{5\pi}{12} و \frac{\pi}{12} $رادیان)، می توان از روابط نسبتهای مثلثاتی کمان مجموع و نسبت های مثلثاتی کمان تفاضل استفاده کرد.
