به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
0 امتیاز
345 بازدید
در دانشگاه توسط Royamp (7 امتیاز)

حاصل $ i^{i ^{i} } $ را بدست بیاورید.

جواب عبارت $i^i$ رو بدست آوردم ولی سه تا i به توان هم رو نمیتونم حل کنم .اگه کسی بلد هست ممنون میشم راهنمایی کنه

توسط sMs (721 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+2
انتظار دارید چه چیزی را به دست بیاوریم؟ چیزی که شما نوشته‌اید را باید به ازای i مشخص حساب کرد که آن هم باید دید که منظور شما از $i^{i^{i}}$ آیا به همین صورت بوده که نوشته‌اید یا منظورتان $(i^i)^i$ بوده است.یا منظورتان از i همان $\sqrt{-1}$ است؟! در هر صورت فکر می‌کنم پرسش مشابه زیر به شما کمک می‌کند:
https://math.irancircle.com/3153
توسط UnknownUser (1,608 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@Royamp اصلاً مشخص نکرده‌اید عبارت حاصل باید به چه شکل باشد.
و همچنین مشخص نکرده‌اید که $i$ دقیقاً چه چیزی است. اگر منظورتان از $i$، $\sqrt{-1}$ است که خب باید ذکر کنید.

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط shadow_ali (283 امتیاز)

با عرض سلام. ابتدا بیایم فرض کنیم که صورت مسئله شما به این وضع باشه که $Q: i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}=z $ تا الی آخر ... پس داریم: $$ i^{ \underbrace{i^{i^{.^{.^{.}}}}}=z } =z$$

اکنون از طرفین $ ln$ میگیریم:

$$ln(i^z)=ln(z) \Rightarrow z.ln(i)=ln(z)$$ از مقدار بالا میدانیم که $ ln(i)= \frac{i \pi }{2} $ : $$ \frac{i \pi }{2}= z^{-1}.ln(z) \Rightarrow -\frac{i \pi }{2}=-ln(z). e^{-lnz} $$ $$w( -\frac{i \pi }{2})=w(-ln(z). e^{-lnz})$$

$$-ln(z)=w( -\frac{i \pi }{2})$$ $$z= e^{-w( -\frac{i \pi }{2})} $$

$$ \Longrightarrow i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}= e^{-w( -\frac{i \pi }{2})}$$

توسط shadow_ali (283 امتیاز)
توسط ناصر آهنگرپور (2,181 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@shadow_ali و @sMs و @Math.Al و @AmirHosein و @Royamp
با درود به اساتید محترم این محفل: این مسئله را با نرم افزار mathcad تحت ویندوز چک کردم. اگر منظور از $i$ همان$ \sqrt{-1} $ باشد، چون $ i^{i} = e^{ \frac{- \pi }{2} } $ است، این مسئله را به دونوع میتوان تعبیر کرد.

$( i^{i}) ^{i} \Longrightarrow (e^{ \frac{ -\pi }{2} } )^{i} =-i$

$ i^{ i^{i} } =i^{(i^i)}\Longrightarrow i^{ (e^{ \frac{- \pi }{2} } )}=cos \frac{ \pi }{2} e^{ \frac{-\pi}{2}}+isin \frac{ \pi }{2} e^{ \frac{-\pi}{2}} \approx 0.947158998072378+0.320764449979309i$

البته چون اثبات این مطلب از توان بنده خارج است، بصورت دیدگاه مطرح کردم تا اساتید گرامی درصورت تأیید و لزوم، اثباتش را بصورت جواب بنویسند. زنده و پاینده باشید

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...