حاصل را بدست آورید(i^i^i)

Question

حاصل $ i^{i ^{i} } $ را بدست بیاورید.

جواب عبارت $i^i$ رو بدست آوردم ولی سه تا i به توان هم رو نمیتونم حل کنم .اگه کسی بلد هست ممنون میشم راهنمایی کنه

Comments

انتظار دارید چه چیزی را به دست بیاوریم؟ چیزی که شما نوشته‌اید را باید به ازای i مشخص حساب کرد که آن هم باید دید که منظور شما از $i^{i^{i}}$ آیا به همین صورت بوده که نوشته‌اید یا منظورتان $(i^i)^i$ بوده است.یا منظورتان از i همان $\sqrt{-1}$ است؟! در هر صورت فکر می‌کنم پرسش مشابه زیر به شما کمک می‌کند:
https://math.irancircle.com/3153

---

@Royamp اصلاً مشخص نکرده‌اید عبارت حاصل باید به چه شکل باشد.
و همچنین مشخص نکرده‌اید که $i$ دقیقاً چه چیزی است. اگر منظورتان از $i$، $\sqrt{-1}$ است که خب باید ذکر کنید.

Answer 1

با عرض سلام. ابتدا بیایم فرض کنیم که صورت مسئله شما به این وضع باشه که $Q: i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}=z $ تا الی آخر ... پس داریم: $$ i^{ \underbrace{i^{i^{.^{.^{.}}}}}=z } =z$$

اکنون از طرفین $ ln$ میگیریم:

$$ln(i^z)=ln(z) \Rightarrow z.ln(i)=ln(z)$$ از مقدار بالا میدانیم که $ ln(i)= \frac{i \pi }{2} $ : $$ \frac{i \pi }{2}= z^{-1}.ln(z) \Rightarrow -\frac{i \pi }{2}=-ln(z). e^{-lnz} $$ $$w( -\frac{i \pi }{2})=w(-ln(z). e^{-lnz})$$

$$-ln(z)=w( -\frac{i \pi }{2})$$ $$z= e^{-w( -\frac{i \pi }{2})} $$

$$ \Longrightarrow i^{i^{i^{.^{.^{.}}}}}= e^{-w( -\frac{i \pi }{2})}$$

Comments

احتمالا نیازمند به این مورد میشید..

https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function
https://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

---

@shadow_ali و @sMs و @Math.Al و @AmirHosein و @Royamp
با درود به اساتید محترم این محفل: این مسئله را با نرم افزار mathcad تحت ویندوز چک کردم. اگر منظور از $i$ همان$ \sqrt{-1} $ باشد، چون $ i^{i} = e^{ \frac{- \pi }{2} } $ است، این مسئله را به دونوع میتوان تعبیر کرد.

$( i^{i}) ^{i} \Longrightarrow (e^{ \frac{ -\pi }{2} } )^{i} =-i$

$ i^{ i^{i} } =i^{(i^i)}\Longrightarrow i^{ (e^{ \frac{- \pi }{2} } )}=cos \frac{ \pi }{2} e^{ \frac{-\pi}{2}}+isin \frac{ \pi }{2} e^{ \frac{-\pi}{2}} \approx 0.947158998072378+0.320764449979309i$

البته چون اثبات این مطلب از توان بنده خارج است، بصورت دیدگاه مطرح کردم تا اساتید گرامی درصورت تأیید و لزوم، اثباتش را بصورت جواب بنویسند. زنده و پاینده باشید