به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
–2 امتیاز
407 بازدید
در دانشگاه توسط mmohsen.h75 (-9 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

برای یک عدد طبیعیِ $n$ جمع توان $n$اُمِ ریشه‌های مختلط سوم ۱ را بدست آورید.


متن پیش از ویرایش:

سلام من هر چی فک کردم به نتیجه ای نرسیدم مسئله مال مبحث ریشه یابی اعداد مختلطه سوالش گفته اثبات کنین ممنون میشم کسی بتونه راهنماییم کنه معمولا تو مسئله میگه ریشه چندم اما این نگفته به ذهنم چیزی نمییاد کمک کنین لطفا

توسط fardina (17,407 امتیاز)
+1
منفی برای عنوان سوال. اعداد مختلط یک برچسب میتونه باشه. عنوان سوال باید گویای سوال شما در یکی دوجمله کوتاه باشه.
توسط AmirHosein (19,582 امتیاز)
@mmohsen.h75 به غیر از عنوان. اصلا از متنی که نوشتید معلوم نیست پرسش چه بوده‌است. به جای متنی که نوشته بودید، متن پرسش را می‌نوشتید و به تلاشی که کردید. من از روی پاسخ حدسم پیرامون متن پرسش را برایتان اضافه کردم و عنوان را هم ویرایش کردم. اگر پرسش جدیدی به شکل نامفهوم بفرستید ممکن است پیش از نمایش حذف شود.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط fardina (17,407 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

از اتحاد اویلر استفاده کنید:

$$(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$$

به عبارت دیگر:

$$(\cos\theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

پس $$\begin{align} (-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2)^n&=e^{i\frac{4n\pi}3}\\ &=e^{i\frac{4(3k+2)\pi}{3}}\\ &=e^{i(4k\pi+\frac{\pi}3)}\\ &=e^{i\frac {2\pi}3}\\ &=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2 \end{align}$$ و $$\begin{align}(\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3)^n&=e^{i\frac{2n\pi}3}\\ &=e^{i\frac{2(3k+2)\pi}3}\\ &=e^{2k\pi i+i\frac{4\pi}{3}}\\ &=e^{i\frac {4\pi}3}\\ &=-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2\end{align}$$

پس مجموع آنها برابر $-1$ است.

به همین ترتیب در مورد سایر موراد می توانید استدلال کنید.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...