از اتحاد اویلر استفاده کنید:
$$(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$$
به عبارت دیگر:
$$(\cos\theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$
پس
$$\begin{align} (-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2)^n&=e^{i\frac{4n\pi}3}\\
&=e^{i\frac{4(3k+2)\pi}{3}}\\
&=e^{i(4k\pi+\frac{\pi}3)}\\
&=e^{i\frac {2\pi}3}\\
&=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2 \end{align}$$
و
$$\begin{align}(\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3)^n&=e^{i\frac{2n\pi}3}\\
&=e^{i\frac{2(3k+2)\pi}3}\\
&=e^{2k\pi i+i\frac{4\pi}{3}}\\
&=e^{i\frac {4\pi}3}\\
&=-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2\end{align}$$
پس مجموع آنها برابر $-1$ است.
به همین ترتیب در مورد سایر موراد می توانید استدلال کنید.
