Question

برای یک عدد طبیعیِ $n$ جمع توان $n$اُمِ ریشه‌های مختلط سوم ۱ را بدست آورید.

---

متن پیش از ویرایش:

سلام من هر چی فک کردم به نتیجه ای نرسیدم مسئله مال مبحث ریشه یابی اعداد مختلطه سوالش گفته اثبات کنین ممنون میشم کسی بتونه راهنماییم کنه معمولا تو مسئله میگه ریشه چندم اما این نگفته به ذهنم چیزی نمییاد کمک کنین لطفا

Comments

منفی برای عنوان سوال. اعداد مختلط یک برچسب میتونه باشه. عنوان سوال باید گویای سوال شما در یکی دوجمله کوتاه باشه.

---

@mmohsen.h75 به غیر از عنوان. اصلا از متنی که نوشتید معلوم نیست پرسش چه بوده‌است. به جای متنی که نوشته بودید، متن پرسش را می‌نوشتید و به تلاشی که کردید. من از روی پاسخ حدسم پیرامون متن پرسش را برایتان اضافه کردم و عنوان را هم ویرایش کردم. اگر پرسش جدیدی به شکل نامفهوم بفرستید ممکن است پیش از نمایش حذف شود.

Answer 1

از اتحاد اویلر استفاده کنید:

$$(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}$$

به عبارت دیگر:

$$(\cos\theta +i\sin \theta)^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$$

پس $$\begin{align} (-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2)^n&=e^{i\frac{4n\pi}3}\\ &=e^{i\frac{4(3k+2)\pi}{3}}\\ &=e^{i(4k\pi+\frac{\pi}3)}\\ &=e^{i\frac {2\pi}3}\\ &=-\frac 12+i\frac{\sqrt 3}2 \end{align}$$ و $$\begin{align}(\cos \frac{2\pi}3+i\sin \frac{2\pi}3)^n&=e^{i\frac{2n\pi}3}\\ &=e^{i\frac{2(3k+2)\pi}3}\\ &=e^{2k\pi i+i\frac{4\pi}{3}}\\ &=e^{i\frac {4\pi}3}\\ &=-\frac 12-i\frac{\sqrt 3}2\end{align}$$

پس مجموع آنها برابر $-1$ است.

به همین ترتیب در مورد سایر موراد می توانید استدلال کنید.