فرض کنیم
$X$
و
$Y$
متغیرهای مستقل از هم باشند. بنابراین،
$$E(XY)=E(X)E(Y).$$
اثبات این گزاره نمیتواند سخت باشد از آنجایی که به ازای هر دو متغیر تصادفی مستقل از هم داریم
$$P_{X,Y}(x,y)=P_X(x)P_Y(y).$$
از این گزاره داریم که
$$E(XY)=E(X)E(Y)=2\times 3=6.$$
باید توجه کرد که
$E(X)$
همان میانگین برای متغیر
$X$
میباشد.
حال برای مورد دوم داریم که
$E[(X-Y)(X+Y)]=E(X^2-Y^2)$.
توجه کنید که عملگر امید، خطی است بدین معنی که
$E(aX+Y)=aE(X)+E(Y)$.
لذا
$$E[(X-Y)(X+Y)]=E(X^2)-E(Y^2).\;\;\;\text{(1)}$$
همچنین میدانیم که به ازای متغیرهای تصادفی
$X$
و
$Y,$
$$E(X^2)=Var(X)+(E(X))^2.$$
از این معادله آخر داریم
$E(X^2)=4+(2)^{2}=8$،
و
$E(Y^2)=5+(3)^{2}=14$.
درنهایت از $\text{(1)}$ داریم،
$$E[(X-Y)(X+Y)]=E(X^2)-E(Y^2)=8-14=-6.$$
