حاصل جواب انتگرال زیر را بیابید.

Question

حاصل انتگرال \int sin x sin 3x sin 5x dxرا بیابید . .....................................................................................................

Comments

باید علائم ریاضی را بین دو تا علامت دلار قرار دهید تا خوانا شوند.

---

@hamedghanbari1371 نکند خواسته‌اید چک کنید که مانند @masiha1412 تعداد نقطه‌هایتان را می‌شمارم؟ به جای گذاشتن ۱۰۱ نقطه برای رفع شرط حداقل کاراکتر لازم برای پرسش، باید به تلاش خودتان برای حل پرسش اشاره کنید و اینکه چه چیزی را متوجه نمی‌شوید یا در کجا به مشکل برخورده‌اید. قرار نیست یک پرسش به شکل تلگرافی ارسال کنید به ویژه که دسته‌بندی را دانشگاه انتخاب کرده‌اید. به عنوان دانشجو انتظار بیشتری از شما هست. عنوان پرسش نیز نامناسب است. پست زیر را بخوانید:
https://math.irancircle.com/11973/

Answer 1

حاصل $\int \sin(x)\sin(3x)\sin(5x) \ \text{dx} $ را به کمک تبدیل فرمولهای ضرب به جمع بدست می‌آوریم. میتوانیم ابتدا $\sin(x)\sin(5x)$ را حساب کنیم: $$ \sin(5x)\sin(x)=\frac{1}{2}\cos(2x)-\frac{1}{2}\cos(3x) $$ حال طرفین را در $\sin(3x)$ ضرب می‌کنیم: $$ \sin(3x)\sin(5x)\sin(x)=\frac{1}{2}\sin(3x)\cos(2x)-\frac{1}{4}\sin(6x) $$ حال باید دوباره $\sin(3x)\cos(2x)$ را تبدیل به جمع کنیم و درنهایت عبارت ساده ای برای انتگرال گیری بدست می آید.

Answer 2

$$ \int sin(x).sin(3x).sin(5x)dx $$ $$ \int - \frac{sin(9x)-sin(7x)-sin(3x)+sin(x)}{4}dx $$ $$- \frac{1}{4} \int sin(9x)dx+ \frac{1}{4} \int sin(7x)+ \frac{1}{4} \int sin(3x)- \frac{1}{4} \int sin(x) $$ $u=9x , u=7x , u=3x$ $$ \int sin(9x)dx= \frac{1}{9} \int sin(u)=> \int sin(u)=-cos(u)==> \frac{-cos(u)}{9}= \frac{-cos(9x)}{9} $$ $$ \int sin(7x)dx= \frac{1}{7} \int sin(u)=> \int sin(u)=-cos(u)==> \frac{-cos(u)}{7}= \frac{-cos(7x)}{7}$$ $$ \int sin(3x)dx= \frac{1}{3} \int sin(u)=> \int sin(u)=-cos(u)==> \frac{-cos(u)}{3}= \frac{-cos(3x)}{3}$$ $$ \int sin(x)=-cosx $$ باالحاق ضرایب انها به صورت زیر میشود $$ \frac{cos(9x)}{36}- \frac{cos(7x)}{28} - \frac{cos(3x)}{12}+ \frac{cos(x)}{4}+c $$