بررسی همگرایی $ \{ x_{n} \} $ با توجه به شرط $d \big( x_{n+1}, x_{n} \big) \rightarrow 0$

Question

فرض کنیم $ { x_{n} }$ دنباله ای در فضای متریک $ \big(X,d\big)$ باشد.آیا از $d \big( x_{n+1}, x_{n} \big) \rightarrow 0$ میتوان نتیجه گرفت که $ { x_{n} } $ همگراست؟ کوشی چطور؟

Answer 1

خیر، زیرا اگر $X=\mathbb{R}$ را بامتریک اقلیدسی در نظر بگیریم، انگاه برای دنباله $x_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ داریم که $d(x_n,x_{n+1})=\frac{1}{n}\to0$ اما دنباله $x_n$ همگرا نیست و حتی کوشی هم نیست.

Comments

خیلی ممنونم
@mdgi اثباتش برای کوشی به چه صورته؟

---

چون فضای $\mathbb{R}$ کامل است