درستی یا نادرستی "اگر $G$ یک گروه باشد و $a,b \in G$ به طوری که $o(a) < \infty$ و $o(b) < \infty $ آن گاه $ o(ab) < \infty$"

Question

حکم زیر اگر درست است ثابت کنید و اگر نادرست است یک مثال نقض برای آن بیاورید.

اگر $G$ یک گروه باشد و $a,b \in G$ به طوری که $o(a) < \infty$ و $o(b) < \infty $ آن گاه $ o(ab) < \infty$.

توجه : $o(a) < \ \infty $ یعنی $ a \in G$ از مرتبه متناهی است.

Comments

@Raha.k به دیدگاهی که در زیر پرسش دیگرتان گذاشتم نگاه کنید
https://math.irancircle.com/18270/#c18286
بعلاوه «جبرجامع» برچسب نامناسبی برای پرسش شماست. پرسش شما تمرینی از درس جبر ۱ کارشناسی است (یا به تازگی اسم مبانی جبر گرفته‌است) در حالی که جبرجامع معمولا درسی در کارشناسی ارشد است که به ساختار کلی تمام اشیاء جبری از گروه تا حلقه و مدول و نیم‌گروه و غیره نگاه می‌کند، می‌توانید به پرسش‌های قدیمی که با برچسب «جبر جامع» در سایت هستند نگاه بیندازید تا فرق مبحث را متوجه شوید.

Answer 1

اگر $ab=ba$ باشد رابطه برقرار است اما در حالت کلی برقرار نیست. یک مثال ساده:

فرض کنید $ a= \begin{bmatrix}0 & 1\\1 & 0\end{bmatrix} $ و همچنین $ b=\begin{bmatrix}0 & 2 \\ \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} $ باشد. به راحتی دیده می شود که $a^2=b^2=I$ ولی $$ ab= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}&0 \\0& 2 \end{bmatrix} $$ و مرتبه این عضو نامتناهی است.