Question

فرض کنید Gیک گروه از مرتبه $p^2$باشد که pیک عدد اول است. الف)نشان دهید که Gحداقل دارای یک زیر گروه از مرتبه pاست. ب)نشان دهید که G حداکثر می تواند p+1زیر گروه از مرتبه pداشته باشد.

Comments

@F.brkhdr
اگر روابط ریاضی رو داخل دو تا علامت دلار تایپ کنید
فرمولها به طور صحیح نمایش داده خواهند شد.

---

متشکرم از راهنمایی شما

---

خواهش میکنم

Answer 1

الف) عنصر غیر همانی a را در نظر بگیرید. اگر مرتبه این عنصر برابر p باشد. آنگاه زیرگروه تولید شده توسط این عنصر جواب است. طبق قضیه لاگرانژ اگر مرتبه این عنصر برابر p نباشد حتما برابر $p^2$ است. یعنی گروه دوری است. حال عنصر $a^p$ را در نظر می گیریم. مرتبه این عنصر برابر p است. پس زیر گروه تولید شده توسط این عنصر جواب است.

ب) طبق الف حداقل یک زیر گروه از مرتبه p داریم. و چون مرتبه برابر عدد اول است پس تمام عناصر غیر همانی دارای مرتبه p هستند.(یعنی همگی مولد زیرگروه هستند)

فرض کنید k تعداد زیر گروه های از مرتبه p باشد. هر زیر گروه p-1 عنصر متمایز غیر همانی دارد. پس در کل $k(p-1 )$ عنصر متمایز داریم(در زیرگروه های از مرتبه p)

اما تعداد کل عناصر غیر همانی گروه برابر $p^2-1$ است پس:

$$k (p-1) \leq p^2-1=(p-1)(p+1) \Rightarrow k \leq p+1$$