گروه G=Z6 \times Z6 دارای چندعضو از مرتبه 6 است؟

Question

تست کنکور ارشد 1402 گروه $G=Z6 \times Z6$ دارای چندعضو از مرتبه 6 است؟

الف) 26 ب) 24 ج) 12 د) 6

ایده خودم استفاده از این نکته: اگر $G=A \times B$ ، $a \in A , b \in B$ آنگاه

Answer 1

ایده خودتون درسته.باید دنبال عضوهایی مانند $a$ و $b$ از $Z_6$ بگردید که:

$o(a)=m,o(b)=n, [m,n]=6 \Rightarrow (m,n)=(1,6) \vee (6,1) \vee (6,6)\vee (2,3) \vee (3,2) \vee (2,6) \vee (3,6) \vee (6,2) \vee (6,3)$

با توجه به اینکه:

$o(0)=1,o(1)=o(5)=6,o(2)=o(4)=3,o(3)=2$

حالا اگر تمام حالات را بشمارید تعداد $24$ است.

$ \Box $

پس گزینه ب درست است.