گروه ماتریس های 3 \times 3 وارون پذیر روی Z5 را با GL3(Z5)=G نشان می دهیم اگر H1 زیر گروهی از G باشد که متشکل از تمام ماتریس هایی با دترمینان 1 باشد،

Question

کنکور ارشد ریاضی 1402 گروه ماتریس های $3 \times 3$ وارون پذیر روی $Z_5$ را با $G=GL_3(Z_5)=$ نشان می دهیم اگر $H_1$ زیر گروهی از $G$ باشد که متشکل از تمام ماتریس هایی با دترمینان $1$ باشد، آنگاه:

1) زیرگروهی نرمال است در $G$ و اندیس $H_1$ در $G$ برابر $5$ است.

2) زیرگروهی نرمال نیست در $G$ و اندیس $H_1$ در $G$ برابر $4$ است.

3) زیرگروهی نرمال است در $G$ و اندیس $H_1$ در $G$ برابر $4$ است.

4) زیرگروهی نرمال نیست در $G$ و اندیس $H_1$ در $G$ برابر $5$ است.

Answer 1

اگر ($GL_n(F$ و $SL_n(F)$ به ترتیب بیانگر گروه خطی عام و خاص روی میدان متناهی با مرتبه اول $p$ باشند آنگاه:

$|GL_nF(p)|=(p^n-1)(p^n-p)...(p^n-p^{n-1}) \wedge |SL_nF(p)|= \frac{|GL_nF(p)|}{p-1} $

$ \Rightarrow [GL_3(Z_5):SL_3(Z_5)]= \frac{|GL_3(Z_5)|}{|GL_3(Z_5)|}=5-1=4$

(نظریه‌ی گروه‌ها تألیف دکتر بیژن طائری نشر جهاد دانشگاهی واحد صنعتی اصفهان).

حالا اگر $A$ و $B$ دو ماتریس وارونپذیر $n \times n$ دلخواه روی میدان $F$ باشند که $|A|=1$ آنگاه:

$|B^{-1}AB|=|B^{-1}||A||B|=|A||B^{-1}B|=1 \times |I_n|=1 \times 1=1 \Rightarrow B^{-1}AB \in SL_n(F)$

$ \Rightarrow SL_n(F) \unlhd GL_n(F)$

پس گزینه $3$ درست است.

$ \Box $