فرض کنیم p عددی اول و (مرتبه G) = p^n بطوریکه G/Z(G) \cong Zp \times Zp اگر x عضوی از G/Z(G) باشد، قرار می دهیم M={g \in G | xg=gx}

Question

کنکور ارشد ریاضی 1402

فرض کنیم $p$ عددی اول و مرتبه $|G|=p^n$ بطوریکه $ \frac{G}{Z(G)} \cong Zp \times Zp$ .اگر $x$ عضوی از $G-Z(G)$ باشد، قرار می دهیم $M={g \in G | xg=gx} $ در این صورت کدام گزینه صحیح است؟

1)$M=Z(G)$

2)$G=M$

3)اندیس $M$ در $G$ برابر $p$ است

4)زیرگروه $M$، زیرگروه سره $Z(G)$ است

Answer 1

اگر $a$ عضوی دلخواه از $G$ باشد داریم:

$M(a)=g \in G|ag=ga \wedge Z(G)= \cap _{a \in G}M(a)$

از طرفی دیگر چون همواره $aa=aa=a^2$ پس $a \in M(a)$ و چون در اینجا $x \in G-Z(G)$ بنابر این:

$Z(G) \subset M \subseteq G $

از طرفی دیگر:

$\frac{|G|}{|Z(G)|}=| \frac{G}{Z(G)}|=|Z_p \times Z_p| \Rightarrow \frac{p^n}{|Z(G)|} =p^2 \Rightarrow |Z(G)|=p^{n-2} \Rightarrow|M|=p^{n-1} \vee p^n (?)$

حالا توجه شود که اگر $M=G$ آنگاه:

$ \forall g \in G:g \in M \Rightarrow gx=xg \Rightarrow x \in Z(G) \perp \Rightarrow |M|=p^{n-1} \Rightarrow [G:M]= \frac{|G|}{|M|} = \frac{p^n}{p^{n-1}} =p$

حالا اگر یک بار دیگر این استدلال را مرور کنیم متوجه می شویم که گزینه های $1$ و $3$ و $4$ غلط اند.بنابراین گزینه $2$ درست است.

$ \Box $