اگر $K$ زیرگروه و $H$ زیرگروه نرمالی از گروه $G$ باشند، ثابت کنید $HK$ زیرگروه $G$ است و اگر $K$ هم نرمال باشد آنگاه $HK$ نیز نرمال است.

Question

فرض کنید $G$ یک گروه و $H$ و $K$ دو زیرگروه از $G$ باشندبه طوری که $H\unlhd G$ (که منظور از $\unlhd$ زیرگروه نرمال بودن است). در این صورت ثابت کنید که

الف) $HK\leq G$ (که منظور از $\leq$ زیرگروه بودن است).

ب ) بعلاوه اگر داشته‌باشیم که $K\unlhd G$، آنگاه داریم $HK\unlhd G$.

Comments

@Raha.k به این پست توجه کنید
https://math.irancircle.com/11973
۱- مرجع اسم درس نیست! مرجع یعنی چیزی که به آن رجوع کنند مانند کتاب یا مقاله.
۲- عنوان پرسش‌تان مناسب نیست! عنوان به معنای جملهٔ اول متن پرسش نیست! عنوان قرار است به طور خلاصه بگوید در سوال چه چیزی پرسیده شده است. عنوان شما می‌گوید یک گروه و دو زیرگروه دارید، خب؟ همین؟ این که سوالی مطرح نمی‌کند. و حتی اشاره‌ای ندارد که چه چیزی قرار است مشکل شما باشد.
۳- به تلاش خود یا ابهام‌تان اشاره کنید.

---

@Raha.k به ویرایشی که برایتان کردم توجه کنید.

Answer 1

داریم $hk(h_2k_2)^{-1}=hkk_2^{-1}h_2^{-1} $ اما $$kk_2^{-1}H=Hkk_2^{-1}$$ پس یک $h_3\in H$ موجود است طوری که $$ kk_2^{-1}h_2^{-1}=h_3kk_2^{-1}$$ بنابراین $hk(h_2k_2)^{-1}\in HK$

ب) $xhkx^{-1}=h'xx^{-1}k'=h'k'\in HK$