به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
449 بازدید
سوال شده در دانشگاه توسط behruz
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

با استفاده از خواص ضرب داخلی نشان دهید:

$| ( x,y ) | \leq \parallel x \parallel _2 \parallel y \parallel _2$

2 پاسخ

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط wahedmohammadi
ویرایش شده توسط wahedmohammadi

یادآوری می‌کنیم که$ ( x,x) =( \parallel x \parallel _2 )^2 $ و همچنین برای هر $y$ داریم که $ ( y,y ) \geqslant 0 $ پس به ازای هر $a \in \mathbb C$ داریم

$ (x-ay,x-ay ) \geqslant 0 \qquad \qquad \qquad \qquad (*)$

در سوال بالا اگر $y=0$ باشد حالت تساوی برقرار است و حکم ثابت است. حال فرض کنیم $y \neq 0$ ، تعریف می‌کنیم $a=\frac{(x,y)}{(y,y)}$ و با جایگذاری در $(*)$ وساده کردن داریم:

$0 \leqslant (x-ay,x-ay) = (x,x ) - a(x,y) - \overline{a} (x,y) +a^2(y,y) \quad \quad \qquad $

$=( \parallel x \parallel _2 )^2 - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} + \frac{|(x,y)|^2}{|(y,y) |^2} (y,y) $

پس از ساده کردن به نامعادله زیر می‌رسیم

$0 \ \leqslant (x,x ) - \frac{|(x,y)|^2}{(y,y)} \Rightarrow |(x,y)|^2 \leqslant (x,x )(y,y) \qquad \qquad \qquad $

$\Rightarrow |(x,y)|^2 \leqslant ( \parallel x \parallel _2 )^2( \parallel y \parallel _2 )^2 \qquad \ \ \ \ $

با جذر گرفتن از طرفین به جواب مسئله می‌رسیم

$|(x,y)| \leqslant \parallel x \parallel _2 \parallel y \parallel _2 $

+2 امتیاز
پاسخ داده شده توسط fardina

(با استفاده از کتاب بارتل)فرض کنیم $V$ یک فضای ضرب داخلی باشد. در اینصورت با قرار دادن $z=ax-by, a,b\in\mathbb R$ داریم $$0\leq z.z=a^2x.x-2abx.y+b^2y.y$$ با قرار دادن $a=\|y\|, b=\|x\|$ داریم: $$\begin{align}0\leq& \|y\|^2\|x\|^2-2\|y\|\|x\|x.y+\|x\|^2\|y\|^2\\ &=2\|x\|\|y\|(\|x\|\|y\|-x.y)\end{align}$$

و چون $\|.\|\geq 0$ بنابر این از نامساوی بالا داریم $\|x\|\|y\|-x.y\geq 0$ و لذا نتیجه حاصل می شود.

با توجه به اینکه اخیرا هزینه های نگهداری سایت افزایش چشمگیر چند برابری داشته، محفل ریاضی نیازمند حمایت مالی شما است.

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود

ابزارها:

سرگرمی: سودوکو جدید

رسم نمودار: Geogebra جدید

...