چرا تابع نمایی برای پایه های منفی تعریف نمی شود.

Question

با سلام چرا تابع نمایی برای پایه های منفی تعریف نمیشود؟

Comments

فکرکنم دکتر بروجردی در یکی از شماره های مجله ریاضی انتشارات مبتکران به این پرسش به طور مفصل پاسخ دادن که در اونجا از مفالات ماهنامه ریاضی آمریکا استفاده کرده بودن.

---

بله مقالشون تحت عنوان آیا $(-1)^{1/3}$ تعریف می شود؟ اگه بتونید سرچ کنید مقاله رو بخونید خیلی زیبا توضیح دادن.

Answer 1

همان طور كه ميدانيد تابع هاي نمايي تابع هايي هستند كه پايه انها اعداد حقيقي مثبت ومخالف يك و توان انها متغير يا همان $x$ ميباشد حال سوال اين است كه چرا پايه مثبت ومخالف يك است ؟ اگر پايه يك باشد.انگاه $x$ هر عدد حقيقي را كه اختيار كند تابع برابر يك مي شود زيرا يك بتوان هر عدد حقيقي برابر يك ميباشد. وتابع تبديل به تابع ثابت مي شود. به همين دليل قرارداد ميكنیم پایه یک نباشد . حالا دلیل اینکه پایه منفی نیست . در ریاضیات وقتی میخواهیم موضوعی رو بسط بدیم و عمومی ترش کنیم سعی میکنیم طوری تعاریف رو طوری بیان کنیم که خواص اساسی و پایه اون مبحثو داشته باشه . حالا توان های گویا رو بررسی میکینم .

$$a^{۱/n}$$ برای چه اعدادی تعریف میشه؟ ما توان های کسری رو به دو صورت تعریف میکنیم : $$ \text{a > 0} : a^{۱/۲n}$$

$$ \text{a} \in \mathbb{R} : a^{۱/(۲n+۱)}$$ همانطور که میبنید اعداد کسری زمانی که مخرج زوج باشه پایه مثبته و برای اعداد منفی تعریف نمیکنیم .

Comments

توضیح عالی بود.

Answer 2

به نظرم جواب‌های قبلی زیاد منطقی نیستن، زیرا حتی اگر با استدلال آقای $erfanm$ بخواهیم جلو بریم و اگر با پایه $3$ شروع کنیم باز می‌توان به همچنین تناقضی برسیم زیرا:

$3=(9)^{1 \over 2}=((-3)^2)^{1 \over 2} = (-3)^{2 \over 2} = (-3)^1=-3 \qquad \qquad $

پس می‌بینیم همچین چیزی امکان ندارد و به نظرم این استدلال درست نیست.

و اگر آنرا منفی در نظر بگیریم به طور مثال $a=-1$ باشد آنگاه $(-1)^1=-1=(-1)^{-1}$ و می‌بینیم که یک به یک نیست و در نتیجه معکوس پذیر نیست و خوش تعریف بودن لگارتیم که توابعی کاربردی هستند زیر سوال می‌رود.

Comments

منظور آقای @erfanm هم این بود که چون امکان نداره $3=-3$ پس امکان نداره بتونیم برای پایه های منفی قابل تعریف باشه.
در واقع ایشون اول فرض کردن که برای منفی ها هم بشه تابع نمایی رو تعریف کرد و بعد به تناقض رسیدن. و اون مثال رو برای واضحتر شدن مطلب آوردن.

Answer 3

مشکل دیگر این است که $$ -3= (-3)^{1} =(-3)^{ \frac{2}{2} }=((-3)^{2}) ^{ \frac{1}{2} } =(9) ^{ \frac{1}{2} } =3$$ اگر بخواهیم توان را هر عددی بگیریم باید پایه مثبت باشد. برای اینکه بهتر متوجه بشید میتوانید به قوانین توان $ (a^{x}) ^{y} = a^{xy} $ مراجعه کنید.

Comments

از آن‌جا که رادیکال یک عدد، یک جواب منفی و یک جواب مثبت دارد پس به نظرم همچین چیزی که شـما گفتین می‌تواند برعکس نیز اتفاق بیفتد یعنی از 3 شروع کنیم و به 3- برسیم

---

raza91@
رادیکال یک عدد فقط و فقط یک جواب داره اون هم جواب مثبته

---

اجازه باز کردن دو دوم رو نداریم . بنابراین این استدلال درست نیست.