جملهٔ عمومی دنبالهٔ $\{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...\}$

Question

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

آیا می‌توان برای دنبالهٔ زیر جملهٔ عمومی نوشت؟

$$\{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...\}$$

نظم و الگوی دنباله به‌صورت زیر است: «عدد $n$ در این دنباله به تعداد $n$ بار تکرار می‌شود و همین طور تا بی‌نهایت می‌رود.» جملهٔ عمومی آن را بنویسید.

Comments

@m.snb فقط متن پرسش را ننویسید، بلکه تلاش خودتان را نیز بنویسید. برای نمونه اصلا مشخص نیست که از پرسش‌های مشابهی که خودتان و چند نام کاربری دیگر دقیقا مشابه این پرسش ولی عددهای متفاوت گذاشته‌اند استفاده کردید یا خیر.

---

با نرم افزار متلب امتحان کردید؟

---

@mdgi نرم افزار متلب هم می‌تواند جملهٔ عمومی را محاسبه کند؟

Answer 1

جملۀ عمومی دنباله به‌صورت زیر است:

$$a_n = \bigg\lfloor\sqrt{2n}+\frac12\bigg\rfloor$$

Comments

توضیح مختصری برای اثباتش می نویسید؟ (اگر به دلایلی نخواستید به صورت عمومی بنویسید به صورت خصوصی به من بفرستید)

---

@mdgi روی اثبات آن فکر نکرده‌ام. من این جمله‌ی عمومی را با استفاده از موتور برخط https://oeis.org/ به دست آورده‌ام.

Answer 2

به اعداد رنگی خوب توجه کنید

می توان ثابت کرد جملات قرمز دنباله بصورت زیر است باستقرا نیز می توان اثبات کرد $$ a_{ \frac{n(n+1)}{2} } =n $$
بنابراین جمله عمومی دنباله یصورت زیر می توان بدست آورد. $$ \frac{n(n+1)}{2} =k \Rightarrow n^2 +n-2k=0$$ $$n= \frac{-1+ \sqrt{8k+1} }{2} \qquad \Rightarrow a_k= \left \lceil \frac{ \sqrt{8k+1}-1 }{2} \right \rceil $$

Comments

@amir7788 جمله عمومی اولی که ظاهرا سقف (ceil) است در جمله چهارم 2 می شود نه 3 درسته؟
ضمنا این تساوی آخر درست نخواهد بود
@AmirHosein آقای دکتر بررسی بفرمایید

---

amir7788@ بررسی کردید؟

---

@good4us بلی، درست می‌گوئید، عبارت سقف‌دار برای $n=4$ برابر با ۲ می‌شود و همین‌که عبارت جزءصحیح‌دار برای $n=4$ برابر با ۳ می‌شود، نشان می‌دهد که برابریِ آخر برقرار نیست. @amir7788 روشی که با آن این برابری را بدست‌آوردید را بیاورید تا اشتباهش پیدا شود.

---

جواب الان ویرایش کردم امیدوارم که به جواب درست رسیده باشم لطفا بررسی نمایید باتشکر

---

@AmirHosein این سوال برای دوره ششم ابتدایی چطور قابل بیان است؟

---

@mahdiahmadileedari این پاسخ را @amir7788 نوشته‌اند. فکر نکنم مفهوم تابع و به دنبالش جملهٔ عمومی در مقطع ششم ابتدایی گفته شده باشد بنابراین این پرسش برای این مقطع نیست. در بهترین حالت شاید بگویند جملهٔ بعدی را حدس بزن که نیازی به تابع‌نویسی ندارد و از روی همان الگوی توصیفی می‌تواند حدس بزند.

---

نماد جزء صحیح معمولی (کف) نیست بلکه جزء صحیح سقف است یعنی جزصیحیح سقف x برابر n است هرگاه x بزرگتر از n-1 و کوچکتر یا مساوی n باشد بعنوان مثال جزء صحیح سقف عدد پی برابر 4 می باشه