به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
1,764 بازدید
در دبیرستان توسط
ویرایش شده توسط Math.Al

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

آیا می‌توان برای دنبالهٔ زیر جملهٔ عمومی نوشت؟

$$\{1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...\}$$

نظم و الگوی دنباله به‌صورت زیر است: «عدد $n$ در این دنباله به تعداد $n$ بار تکرار می‌شود و همین طور تا بی‌نهایت می‌رود.» جملهٔ عمومی آن را بنویسید.

توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
+1
@m.snb فقط متن پرسش را ننویسید، بلکه تلاش خودتان را نیز بنویسید. برای نمونه اصلا مشخص نیست که از پرسش‌های مشابهی که خودتان و چند نام کاربری دیگر دقیقا مشابه این پرسش ولی عددهای متفاوت گذاشته‌اند استفاده کردید یا خیر.
توسط mdgi (1,553 امتیاز)
+1
با نرم افزار متلب امتحان کردید؟
توسط
+1
@mdgi نرم افزار متلب هم می‌تواند جملهٔ عمومی را محاسبه کند؟

2 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+3 امتیاز
توسط sMs (721 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

جملۀ عمومی دنباله به‌صورت زیر است:

$$a_n = \bigg\lfloor\sqrt{2n}+\frac12\bigg\rfloor$$

توسط mdgi (1,553 امتیاز)
+1
توضیح مختصری برای اثباتش می نویسید؟ (اگر به دلایلی نخواستید به صورت عمومی بنویسید به صورت خصوصی به من بفرستید)
توسط sMs (721 امتیاز)
+3
@mdgi روی اثبات آن فکر نکرده‌ام. من این جمله‌ی عمومی را با استفاده از موتور برخط https://oeis.org/ به دست آورده‌ام.
+2 امتیاز
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
ویرایش شده توسط amir7788

به اعداد رنگی خوب توجه کنید جدول

می توان ثابت کرد جملات قرمز دنباله بصورت زیر است باستقرا نیز می توان اثبات کرد $$ a_{ \frac{n(n+1)}{2} } =n $$
بنابراین جمله عمومی دنباله یصورت زیر می توان بدست آورد. $$ \frac{n(n+1)}{2} =k \Rightarrow n^2 +n-2k=0$$ $$n= \frac{-1+ \sqrt{8k+1} }{2} \qquad \Rightarrow a_k= \left \lceil \frac{ \sqrt{8k+1}-1 }{2} \right \rceil $$

توسط good4us (7,077 امتیاز)
ویرایش شده توسط good4us
+2
@amir7788 جمله عمومی اولی که ظاهرا سقف (ceil) است در جمله چهارم 2 می شود نه 3 درسته؟
ضمنا این تساوی آخر درست نخواهد بود
@AmirHosein آقای دکتر بررسی بفرمایید
توسط good4us (7,077 امتیاز)
+2
amir7788@ بررسی کردید؟
توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
+2
@good4us بلی، درست می‌گوئید، عبارت سقف‌دار برای $n=4$ برابر با ۲ می‌شود و همین‌که عبارت جزءصحیح‌دار برای $n=4$ برابر با ۳ می‌شود، نشان می‌دهد که برابریِ آخر برقرار نیست. @amir7788 روشی که با آن این برابری را بدست‌آوردید را بیاورید تا اشتباهش پیدا شود.
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
+2
جواب الان ویرایش کردم امیدوارم که به جواب درست رسیده باشم لطفا بررسی نمایید باتشکر
توسط mahdiahmadileedari (2,624 امتیاز)
+1
@AmirHosein این سوال برای دوره ششم ابتدایی چطور قابل بیان است؟
توسط AmirHosein (18,510 امتیاز)
+1
@mahdiahmadileedari این پاسخ را @amir7788 نوشته‌اند. فکر نکنم مفهوم تابع و به دنبالش جملهٔ عمومی در مقطع ششم ابتدایی گفته شده باشد بنابراین این پرسش برای این مقطع نیست. در بهترین حالت شاید بگویند جملهٔ بعدی را حدس بزن که نیازی به تابع‌نویسی ندارد و از روی همان الگوی توصیفی می‌تواند حدس بزند.
توسط amir7788 (2,708 امتیاز)
نماد جزء صحیح معمولی (کف) نیست بلکه جزء صحیح سقف است یعنی جزصیحیح سقف x برابر n است هرگاه x بزرگتر از n-1 و کوچکتر یا مساوی n باشد بعنوان مثال جزء صحیح سقف عدد پی برابر 4 می باشه

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...