به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+4 امتیاز
226 بازدید
در دبیرستان توسط mahdiahmadileedari (3,075 امتیاز)
ویرایش شده توسط UnknownUser

رابطهٔ دنبالهٔ زیر را بیابید. $$ \frac{1}{3}, \frac{1}{2 } , \frac{3}{5} , \frac{2}{3} , \frac{5}{7} ,...$$ اعداد را به دو گروه تقسیم کردم، اما به نتیجهٔ مشخصی نرسیدم.

2 پاسخ

+3 امتیاز
توسط mahdiahmadileedari (3,075 امتیاز)
ویرایش شده توسط mahdiahmadileedari
 
بهترین پاسخ

برای $n$های فرد اختلاف صورت و مخرج برابر$2$ است. همین امر برای $n$های زوج برابر است . می توان فرض کرد صورت و مخرج برهم ساده شده باشند.با این توضیح
ضابطه تدنباله برای هر $n$ برابر$$ \frac{n}{n+2} $$است.با این دیدگاه جملات دنباله برابرند با:$$ \frac{1}{3} , \frac{2}{4} , \frac{3}{5} ,...$$

توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)
+4
@mahdiahmadileedari جمله عمومی همان کسری است که در آخر نوشته اید.
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+3
@Elyas1 درست می‌‌گوئید.
توسط mahdiahmadileedari (3,075 امتیاز)
ویرایش شده توسط mahdiahmadileedari
+4
@AmirHosein بله حق باشماست. ظاهرا توی خواب زیاد خواب آلود بودم! سپاس پاسخ را کمی اصلاح کردم
+4 امتیاز
توسط Elyas1 (4,475 امتیاز)

به نام خدا.

در جملاتی که شماره آن ها فرد است، تفاضل صورت و مخرج برابر $2$ می شود و در جملات با شماره زوج، تفاضل صورت و مخرج $1$ می شود. همچنین اگر مخرج کسری را در صورت کسر بعدی ضرب کنیم، حاصل می شود صورت همان کسر در مخرج کسر بعدی بعلاوه یک. مثلاً در دو جمله اول:

$ \frac{1}{3} ,\space \frac{1}{2} \Longrightarrow3×1=2×1+1$

حال $t_n$ را جمله $n$ ٱم بنامیم. اگر $n$ زوج باشد $t_n$ را برابر $\frac{a_n}{a_n+1} $ قرار می دهیم. واضح است که طبق چیزی که گفته شد، جمله ی قبلی برابر است با $ \frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+2} $.

می توان دید که برای هر $n$ فرد، $ a_n=n$ است.

پس می توان نوشت:($n$ زوج است.)

$(a_{n-1}+2)×a_n=a_{n-1}(a_n+1)+1 \Longrightarrow a_n= \frac{a_{n-1}+1}{2}= \frac{n}{2} $

$ a_{n-1}=n-1$

$a_{n-2}= \frac{a_{n-3}+1}{2} = \frac{n-2}{2} $

.

.

.

$a_{2}= \frac{a_1+1}{2}=1 $

پس می توان گفت اگر $n$ عددی زوج باشد، آنگاه:

$t_n= \frac{a_n}{a_n+1} ,\space a_n= \frac{a_{n-1}+1}{2} = \frac{n}{2} \Longrightarrow t_n= \frac{n}{n+2} $

و اگر فرد باشد، آنگاه:

$t_n= \frac{a_n}{a_n+2}, \space a_n= n \Longrightarrow t_n= \frac{n}{n+2} $

پس جمله عمومی دنباله می شود:

$t_n= \frac{n}{n+2} $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...