به نام خدا.
در جملاتی که شماره آن ها فرد است، تفاضل صورت و مخرج برابر $2$ می شود و در جملات با شماره زوج، تفاضل صورت و مخرج $1$ می شود. همچنین اگر مخرج کسری را در صورت کسر بعدی ضرب کنیم، حاصل می شود صورت همان کسر در مخرج کسر بعدی بعلاوه یک. مثلاً در دو جمله اول:
$ \frac{1}{3} ,\space \frac{1}{2} \Longrightarrow3×1=2×1+1$
حال $t_n$ را جمله $n$ ٱم بنامیم. اگر $n$ زوج باشد $t_n$ را برابر
$\frac{a_n}{a_n+1} $
قرار می دهیم. واضح است که طبق چیزی که گفته شد، جمله ی قبلی برابر است با
$ \frac{a_{n-1}}{a_{n-1}+2} $.
می توان دید که برای هر $n$ فرد، $ a_n=n$ است.
پس می توان نوشت:($n$ زوج است.)
$(a_{n-1}+2)×a_n=a_{n-1}(a_n+1)+1 \Longrightarrow a_n= \frac{a_{n-1}+1}{2}= \frac{n}{2} $
$ a_{n-1}=n-1$
$a_{n-2}= \frac{a_{n-3}+1}{2} = \frac{n-2}{2} $
.
.
.
$a_{2}= \frac{a_1+1}{2}=1 $
پس می توان گفت اگر $n$ عددی زوج باشد، آنگاه:
$t_n= \frac{a_n}{a_n+1} ,\space a_n= \frac{a_{n-1}+1}{2} = \frac{n}{2} \Longrightarrow t_n= \frac{n}{n+2} $
و اگر فرد باشد، آنگاه:
$t_n= \frac{a_n}{a_n+2}, \space a_n= n \Longrightarrow t_n= \frac{n}{n+2} $
پس جمله عمومی دنباله می شود:
$t_n= \frac{n}{n+2} $
