مفهوم و چرایی دلتا در معادله درجه دو

Question

\sqrt{ab} سلام. من معادلات درجه دو رو به راحتی حل میکنم اما مشکل من با اصل معادله درجه دو هست. دلتا یعنی چی؟ چه چیزی رو تعیین میکنه و چجوری به وجود اومده؟ ممنون میشم اگه مفهومی توضیح بدهید

Comments

@mdgi  اول اینکه در تساوی آخر نماد رادیکال را فراموش کرده اید و دوم اینکه توضیح کاملتری را با ادامه دادن در قسمت پاسخ قرار دهید

---

منظورتان از این که" مشکل من با اصل معادله درجه دو هست" چیست؟ منظورتان از "اصل معادله درجه دو " دقیقا چیست؟ شاید بهتر است متن پرسش‌تان را ویرایش کنید.

Answer 1

معادله درجه دوم $ax^2+bx+c=0 $ را در نظر می‌گیریم. دو طرف تساوی را بر a تقسیم می‌کنیم: $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

حال به دو طرف تساوی، مجذورِ نصفِ ضریب x را اضافه ‌می‌کنیم: $$x^2+\frac{b}{a}x+c+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}$$

و داریم: $$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$$

سمت چپ را به صورت مربع کامل می‌نویسیم: $$(x+\frac{b}{2a}x)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$ حال اگر از دو طرف معدله فوق جذر بگیریم داریم: $$\bbox[yellow,border:1px solid black]{\color{blue}{(x+\frac{b}{2a}x)=\pm\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}}}$$ که با توجه به علامت $ \Delta$ درباره وجود ریشه حقیقی بحث می‌کنیم.(زیر رادیکال منفی باشد یا صفر با مثبت)

Answer 2

به نام خدا

به طور کلی به عبارت زیر رادیکال در فرمول حل معادلۀ درجه دو دلتا می‌گویند.

دلتا تعداد جواب های معادلۀ درجه دو را تعیین می‌کند:

اگر بزرگتر از صفر باشد معادله دو ریشۀ حقیقی دارد.

اگر مساوی صفر باشد معادله یک ریشۀ حقیقی دارد(در این حالت در واقع ریشه ها مضاعف هستند).

اگر کوچکتر از صفر باشد معادله ریشۀ حقیقی ندارد.

برای اینکه نشانِتان دهم که دلتا چگونه به وجود آمده می‌توانم معادلۀ درجه دو را در حالت کلی حل کنم:

ابتدا شکل کلی معادلۀ درجه دو را در نظر بگیرید:

$ax^2+bx+c=0$

طرفین معادله را در مقدار ثابت $4a$ ضرب می‌کنیم:

$(ax^2+bx+c=0)\cdot 4a \Rightarrow 4a^2x^2+4abx+4ac=0$

سپس مقدار ثابت $-4ac$ را به طرفین معادله اضافه می‌کنیم:

$(4a^2x^2+4abx+4ac=0)-4ac \Rightarrow 4a^2x^2+4abx=-4ac$

سپس مقدار ثابت $b^2$ را به طرفین معادله اضافه می‌کنیم:

$(4a^2x^2+4abx=-4ac)+b^2 \Rightarrow 4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$

سمت چپ تساوی را با استفاده از اتحاد مربع کامل تجزیه می‌کنیم:

$(4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac) \Rightarrow (2ax+b)^2=b^2-4ac$

از طرفین تساوی جذر می‌گیریم:

$((2ax+b)^2=b^2-4ac) \Rightarrow 2ax+b= \pm \sqrt{b^2-4ac} $

همانطور که می‌بینید دلتای معادلۀ درجه دو به وجود آمد.