ثابت کنید معادلهٔ سه متغیرهٔ $a^2+b^2-8c=6$ دارای هیچ جواب صحیحی نیست.

Question

ثابت کنید معادلهٔ سه‌متغیرهٔ زیر در اعداد صحیح دارای جواب نمی‌باشد.

$$a^2 + b^2 -8c = 6$$

یعنی ثابت کنید ما نمی‌توانیم هیچ اعداد صحیحی پیدا کنیم به طوری که اگر آنها را در معادله بالا قرار دهیم معادله برقرار باشد.

Comments

@00ali00 تا اکنون چند پرسش را برایتان ویرایش کردم، انتظار می‌رود برای پرسش‌های بعدی‌تان چند مورد را توجه کنید:
۱- عنوان مناسب بگذارید. «نشان دهید این معادله دارای جواب نیست» اطلاعی به خواننده در مورد معادله نمی‌دهد، کلی پرسش دیگر هست که از همین نوع هست، وقتی معادله‌تان کوتاه است و در عنوان جا می‌شود، آنجا هم باید بیاوریدش.
۲- به جای نوشتن متن بدیهی که شرط حداقل کاراکتری پرسش را رفع کن، به جایش می‌توانستید بنویسید که تا قبل از اینکه این پرسش را بخواهید اینجا بپرسید چه راهایی را امتحان کرده‌اید که معلوم شود خودتان قبلا واقعا برایش تلاش کرده‌اید و یک راست نفرستاده‌اید که به جایتان فکر کنند.

---

من خودم یک جورایی این معادله را حل کردم اما از راه حلش مطمعن نیستم راه حل من اینه :
هشت سی رو میبریم اون ور از دو فاکتورمیگیریم و سمت چپ تساوی میشه 2k در نتیجه a و b یا باید هر دو شون زوج باشن یا باید هردوشون فرد باشند که اگه هر حالت رو امتحان کنیم در هر حالت به دست می آید که یک عدد زوج با یک عدد فرد برابر است که این تناقض است آیا راه حلم درست است؟؟؟

---

@00ali00 می‌تونستید به جای جملهٔ بعد از فرمول یا در انتهای متن پاسخ‌تان به این فکرتان اشاره کنید و دقیقا همین متن دیدگاه را در ادامهٔ متن پرسش‌تان بنویسید تا مشخص شود چه تلاشی کرده‌اید. در راهنمای سایت ذکر شده‌است که باید تلاش خود یا مشکل و ابهام را در پرسش اشاره کنید.

Answer 1

$a^2+b^2=8c+6$

اگر bوa یکی زوج و دیگری فرد باشد طرف اول فرد و طرف دوم زوج است پس تساوی برقرار نخواهدشد. حال اگر بگیریم $a=2m ,b=2n$ آنگاه $2m^2+2n^2=4c+3$ مشابه بالابه ازائ هر c تساوی برقرار نخواهدشد. حال اگر هردو فرد باشند و بگیریم $a=4m \mp 1 ,b=4n \mp 1$ آنگاه $4m^2+4n^2 \mp 2m \mp 2n=2c+1$ باز هم مشابه بالا در این حالت نیز تساوی برقرار نخواهد شد.

Answer 2

با یک بررسی ساده میتوان نشان داد که ناممکن است یکی زوج و دیگری فرد باشد. اگر a و b زوج باشند آنگاه a^2=4m^2 وb^2=4n^2 در معادله قرار دهید و توجه کنید که m,n اعدادی صحیح اند اگر از چهار فاکتور گرفته و سپس ساده کنید به این نتیجه می‌رسید که 4c+3 بر 2 بخش پذیر است که اگر از ویژگیهای عاد کردن استفاده کنید تناقض دارد.

هر دو فردند:b^2=8n+1 , a^2=8n+1 است که مانند قبل بعد از ساده کردن از ویژگی عاد کردن استفاده کنید.