مشکل در حل رابطۀ بازگشتی $a_n=\sqrt{2+a_{n-1}} ,a_1= \sqrt{2}$ با نرم افزار Wolfram Mathematica

Question

رابطۀ بازگشتی زیر را در نظر بگیرید:

$a_n=\sqrt{2+a_{n-1}} ,a_1= \sqrt{2}$

در تصویر زیر می‌بینید که من با استفاده از دستور RSolve این رابطۀ بازگشتی را در نرم افزار Wolfram Mathematica حل کرده‌ام اما نرم افزار در خروجی همان ورودی را نمایش می‌دهد!

مشکل از کجاست؟

Comments

@Am.s شما با دستور فلان چیزی حل نکرده‌اید، احتمالا منظورتان «با دستور فلان خواستید حل کنید» یا «از نرم‌افزار فلان خواستم تا دستور فلان را اجرا کند»، اگر حل کرده‌بودید که پس چرا می‌گوئید جواب نگرفتید؟
به هر حال، خیلی خروجی‌تان تعجب‌برانگیز نیست. تعبیر آن خیلی ساده‌است، شکل دنباله‌ٔ بازگشتی‌ای که به نرم‌افزار Mathematica داده‌اید با توجه به الگوریتم‌های نوشته‌شده در دستور `RSolve` در این نرم‌افزار قابل ساده‌سازی بیشتر نیست. شما حتی جملهٔ شروع را برابر ۲ بگذارید که در نتیجه دنباله‌تان، دنبالهٔ ثابت ۲ خواهد شد، ولی این دستور آن را نمی‌تواند ساده کند.

---

@AmirHosein بسیار ممنونم، حالا سؤال این است که آیا اصلاً این رابطهٔ بازگشتی قابل حل است؟ (بدون استفاده از نرم‌افزار Mathematica)

---

@Am.s در ریاضی بهتر است دقیق باشید. منظور از حل کردن چیست؟ یک ضابطهٔ بازگشتی داریم، یک ضابطه به خودی خود یک معادله یا یک سوال نیست که آن را حل کرد. منظورتان احتمالا «آیا برای این دنباله می‌توان ضابطهٔ نابازگشتی نیز نوشت؟» است.

---

@AmirHosein بله دقیقاً منظورم همین است، آیا برای این دنباله می‌توان ضابطهٔ نابازگشتی نیز نوشت؟

---

@Am.s بلی. قابل حل و ساده‌سازی است و می‌توان برای آن یک ضابطهٔ نابازگشتی نوشت. پاسخی که گذاشتم را ببینید.

Answer 1

به نام خدا

$$a_n=\sqrt{2+a_{n-1}} ,a_1= \sqrt{2}$$

همانطور که آقای @AmirHosein اشاره کردند، این دنبالهٔ بازگشتی در نرم‌افزار Wolfram Mathematica با دستور RSolve قابل ساده‌سازی بیشتر نیست. اما این لزوماً به این معنا نیست که این دنبالهٔ بازگشتی قابل حل و ساده‌سازی نیست.

در اینجا یک ضابطهٔ نابازگشتی برای این دنباله آورده‌ام که آن را می‌بینید.

$$a_n=2\cdot \cos \bigg(\frac{\big(\frac{\pi}{2}\big)}{2^n}\bigg)$$