به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
242 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط ناصر آهنگرپور (1,891 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

من محاسبات زیر را نوشتم که چیزی که در آخر می‌نویسم مرا گیج می‌کند. لطفا راهنمایی کنید که چه مشکلی در نوشته‌ام وجود دارد. هدف حل کردن برابری (معادله) $x^2+49=0$ است. به دو روش زیر اقدام می‌کنم.

  1. $$(x-7i)(x+7i)=0\Longrightarrow x_{1}=+7i, x_{2} =-7i$$
  2. $$(x- \sqrt{14x}+7)(x+ \sqrt{14x}+7)=0 \Longrightarrow x_{1}= \sqrt{14x}-7,x_{2}=- \sqrt{14x}-7$$

دو ریشهٔ حالت دوم چه هستند؟ چرا عدد موهومی ندارند؟ عدد حقیقی هستند؟

توسط AmirHosein (18,141 امتیاز)
+1
@ناصرـآهنگرپور شما در محاسبهٔ جلوی شمارهٔ ۲، مقدار برای $x$ نداده‌اید بلکه یک معادلهٔ جدید داده‌اید. چه بنویسید $x=\sqrt{14x}-7$ چه بنویسید $x^2+49=0$ فرقی ندارد، هر دو معادله هستند نه عدد. $-7i$ یک عدد است. غیر از مشکل هم‌معنا گرفتن «عدد» و «معادله»، کماکان در متن‌تان «تابع» و «معادله» را نیز  هم‌معنا به کار برده‌اید.
اگر هم بین دو معادلهٔ «$x=-7i$ و $x=\sqrt{14x}-7$» تناقض یا تعجب می‌بینید، آنگاه چرا بین دو معادلهٔ «$x=-7i$ و $x^2+49=0$» تناقض و تعجب نمی‌بینید؟ بیشتر پیش برویم دو معادلهٔ $x+1=0$ و $x=-1$، آیا من باید تعجب کنم که چرا در معادلهٔ اول منفی‌ای دیده نمی‌شود ولی در دومی دیده می‌شود؟ یا بگویم «با اینکه پاسخ معادله‌مان عددی منفی است می‌توان معادله‌ای برایش نوشت که علامت منفی ظاهر نشود»؟ اگر مشکل اول را دارید آنگاه یعنی قانونی از قانون‌های جبری مجموعه‌تان را نمی‌دانید مثلا قرینهٔ جمعی و اینکه می‌توانید از دو طرف برابری عدد یکسانی را بکاهید. این باعث ایجاد تعجب‌تان شده‌است که چرا دو برابری پاسخ‌های یکسانی دارد. اگر مشکل دوم را دارید آنگاه یعنی «عدد» و «معادله» را از هم تشخیص نداده‌اید.
توسط ناصر آهنگرپور (1,891 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@Amirhosein راهنماییتون مفیده. تا اینجای موضوع رو میدونم. چیزی که نمیدونم اینه که بدون استفاده از مقادیر $x$ در تجزیه اول، در تجزیه دوم چگونه میتونیم مقدار $x$ را محاسبه کنیم؟ پیشاپیش از راهنماییهای بعدیتون سپاسگزارم.
توسط AmirHosein (18,141 امتیاز)
+1
@ناصرـآهنگرپور هنوز در نوشتن و معنای نمادها مشکل دارید. $x_1=\sqrt{14x}-7$ یک پاسخ نیست! اول اینکه $x$ و $x_1$ و $x_2$ چه هستند؟ در جلوی شمارهٔ (۱) تان خب می‌گوئیم $x_1$ و $x_2$ دو عدد ثابت هستند که معرفی کرده‌اید. ولی در جلوی شمارهٔ (۲) تان چه کرده‌اید؟ عدد که نداده‌اید. گفته‌اید $x_1$ برابر است با، هر $x$ای که بدهید، آن را در ۱۴ ضرب کنید، سپس جذر بگیرید، سپس ۷ واحد از آن کم کنید. پس تابع داده‌اید؟ مگر معادلهٔ اولیه‌تان یک معادلهٔ تابعی بوده‌است؟ فرض کنیم منظورتان تابع نیست. چیز دیگری که می‌توان از این نوشتهٔ ریاضی حدس زد این است که برابری (معادله) منظورتان است. در این صورت یک معادلهٔ دو متغیره با متغیرهای $x$ و $x_1$ است که خمی در فضای دوبعدی می‌شود نه یک عدد. باز هم با ماقبل بحث هم‌خوانی ندارد. از یک معادلهٔ تک‌متغیره شروع کردید و یک‌دفعه‌ای به یک معادلهٔ دومتغیره (در واقع یک دستگاه دو معادله و سه مجهولی با احتساب هر دوی فرمول‌های سمت راست شمارهٔ ۲ تان) رفتید.

من بخواهم نزدیک‌ترین سوال بامعنای ممکن رو از متنی که نوشتید بسازم، همهٔ حرف‌های «عدم حضور عدد موهومی» و «دو جواب عجیب» رو پاک می‌کنم و متن زیر را می‌نویسیم:
*عنوان*: آیا تجزیهٔ $x^2+49=(x-\sqrt{14x}+7)(x+\sqrt{14x}+7)$ کاربردی دارد؟
*متن پرسش*: برابری $x^2+49=0$ را در نظر بگیرید. این برابری دارای دو پاسخ است $\pm 7i$. عبارت آمده در این برابری را می‌توان به شکل زیر نیز تجزیه کرد.
$x^2+49=(x-\sqrt{14x}+7)(x+\sqrt{14x}+7)$
 آیا تجزیهٔ زیر می‌تواند در حل کردن و بدست آوردن پاسخ‌ها کمکم کند یا تنها لقمه دور دهان چرخاندن است به این معنا که برای حل کردن برابریِ $(x-\sqrt{14x}+7)(x+\sqrt{14x}+7)=0$ آیا باید دوباره آن را به شکلِ $x^2+49=0$ برگردانم یا می‌توانم بدون انجام این کار پیش بروم و به $\pm7i$ برسم؟
*برچسب‌ها*: اعداد-مختلط، معادله
توسط ناصر آهنگرپور (1,891 امتیاز)
ویرایش شده توسط ناصر آهنگرپور
@AmirHosein با درود به دکتر گرامی: منظور از x با اندیسها همان ریشه اول و دوم تجزیه است. هم صحبتی با شما فکر آدمو بکار میندازه. اگر فکر بنده اشکالی داره گوشزد بفرمایید. فکر کنم در تجزیه دوم هر کدام از پرانتزها را مساوی صفر بگیریم و رادیکالها را به آنطرف تساوی ببریم، پس از مربع کردن دوطرف همان جوابهای تجزیه اول بدست بیاد. البته میدونم که همان تجزیه اول ساده تر حل میشه. فقط میخواستم بدونم آیا با تجزیه دوم بتنهایی میشه ریشه های $x$ را بدست بیاریم یانه. خوشبختانه با راهنماییهای شما مشکل حل شد. زنده و پاینده باشید.
توسط AmirHosein (18,141 امتیاز)
+1
@ناصرـآهنگرپور ریشهٔ اول بر حسب $x$؟ پس الآن $x$ چه هست؟ وقتی یک برابری با متغیر $x$ می‌نویسید یعنی یک عدد دارید که مقدارش را فعلا نمی‌دانید و آن را با $x$ نمایش می‌دهید. حالا برداشتید آخر کار نوشتید ریشهٔ اول (یک مقدار ممکن برای $x$) برابر است با عبارتی بر حسب $x$؟ پس شما چیزی حل نکرده‌اید و جمله‌تان فاقد معناست. در واقع چیزی که دارید ریشهٔ اول مساوی با یک جواب نیست. چیزی که دارید دقیقا یک معادله است که هر دو سمتش همان نماد $x$ است نه اینکه یک طرف $x$ و طرف دیگر نماد دیگر. یک جمله مانده به آخر دیدگاه جدیدتان نشان می‌دهد که متن پیشنهادی‌ای که در دیدگاه قبلی‌ام نوشته‌ام پرسش‌تان است. بنابراین پرسش‌تان نیاز به ویرایش دارد تا معنای درست را بدهد. با متنی که در حال حاضر دارد معنای یکسانی ندارد و صرفا مشکل در استفاده از نمادها محسوب می‌شود.

2 پاسخ

+1 امتیاز
توسط AmirHosein (18,141 امتیاز)
انتخاب شده توسط ناصر آهنگرپور
 
بهترین پاسخ

چیزی که در آخر باعث سردرگمی شما شده‌بود‌است استفادهٔ بی‌اعتبار از نمادهاست. خیلی ابتدایی از اولین برخورد با برابری‌ها (معادله‌ها) در فرضا دبیرستان شروع می‌کنیم تا مشکل اصلی استفادهٔ نادرست از نمادها را در اینجا متوجه شویم. یک معادلهٔ یک متغیره یعنی یک عدد مجهول داریم که در تساوی‌ای صدق می‌کند و سپس می‌خواهیم مقدار مجهول را حدس بزنیم. مقدار مجهول را با یک نماد (فقط و فقط یک نماد) نمایش می‌دهیم مانند $x$. فرض کنید عددی که دوست شما در ذهنش گرفته‌اش قرار است عددی حقیقی (دامنهٔ انتخابی برای متغیر) در برابری زیر صدق کند.

$$x-2=0$$

اکنون شما چون دامنهٔ تغییر متغیرتان اعداد حقیقی است از قانون‌های حاکم بر میدان اعداد حقیقی و اعمالش استفاده می‌کنید تا معادله را حل کنید. در اینجا خیلی راحت از عمل دوتایی بودن جمع که تابع دومتغیره بودنش را می‌رساند استفاده می‌کنید. جمع یک تابع دو متغیره است. اینکه تابع باشد یعنی اگر دو ورودی یکسان بدهید دو خروجی یکسان دارید. ورودی برای یک تابع دومتغیره دو عدد است پس باید دو تا زوج مرتب یکسان بدهید و انتظار داشته باشید که دو تا عدد یکسان خروجی بگیرید. من دو زوج مرتب را اینها می‌گیرم، یک بار $(0,2)$ و یک بار دیگر $(x-2,2)$. توجه کنید که $x$ یک عدد است و در نتیجه $x-2$ نیز یک عدد است! پس حق داریم عمل جمع را بر روی زوج مرتب $(x-2,2)$ پیاده کنم. پس انتظار دارم که

$$(x-2)+2=0+2$$

سپس از شرکت‌پذیری عمل جمع استفاده می‌کنم که به من می‌گوید $(x-2)+2$ که همان $\big(x+(-2)\big)+2$ است برابر است با $x+\big((-2)+2\big)$ و سپس از عضو قرینهٔ جمعی استفاده می‌کنم که می‌گوید $(-2)+2=0$ پس سمت چپ عبارت بالایم تبدیل شد به $x+0$ اکنون نیز در هر دو سمت چپ و راست از عضو خنثای جمعی استفاده می‌کنم و می‌بینم که

$$x=2$$

مجهول ما یک عدد بود که مقدارش ۲ است و ما آن را با ویژگی‌های میدان اعداد حقیقی یافتیم. اکنون یک گام بیشتر پیش برویم. فرض کنیم عددی که دوستمان در نظر گرفته است قرار است در معادلهٔ زیر صدق کند.

$$x^2-3x+2=0$$

این بار وارد همهٔ گام‌های جزئی نمی‌شوم و فرض می‌کنم که گام زیر برایتان روشن است.

$$(x-1)(x-2)=0$$

بعد چه می‌شود؟ چیزی که می‌شود پریدن به تعریف نمادهای جدید نیست بلکه گام‌های زیر را پیش می‌روم. می‌دانم که مجموعهٔ اعداد حقیقی همراه جمع و ضرب یک دامنهٔ صحیح است (در واقع میدان است و هر میدانی یک دامنهٔ صحیح است). دامنهٔ صحیح بودن به چه معنا بود؟ به این معنا بود که حاصل‌ضرب هیچ دو عضو ناصفری (عضو خنثای جمعی) برابر با صفر نمی‌شود. پس از اینکه عددِ $x-1$ در عددِ $x-2$ ضرب شده‌است نتیجه می‌گیرم که حداقل یکی از این دوپ عدد باید صفر باشد، هر دو هم می‌توانند صفر باشند، فعلا نمی‌دانیم چند تا از این دو عدد صفر هستند ولی حداقل یکی‌شان حتما باید باشد. پس نتیجهٔ کاملا منطقیِ زیر را داریم که از «یا»ی ریاضی (یای غیر مانع) استفاده می‌کند. یای نامانع یعنی اولی یا دومی یا هر دو. گاهی می‌بینید که از علامت هفت‌شکل مانندی برای نشان دادن یای ریاضی استفاده می‌کنند که در زیر ما نیز از این علامت استفاده کرده‌ایم.

$$(x-1)(x-2)=0\Longrightarrow x-1=0\vee x-2=0$$

توجه کنید که علامت‌های بدون تعریف و یک‌دفعه‌ای مثل $x_1$ و $x_2$ به میان صفحه نیانداخته‌ایم! نماد $x$ از ابتدای کار معرفی شد پس حق استفاده دارم، اگر حرف از نماد جدید بزنید باید ابتدا تعریف آن را بدهید. به هر حال جلو می‌رویم:

$$x-1=0\vee x-2=0\Longrightarrow x=1\vee x=2$$

چه شد؟ خب اول اینکه مشخص شد که هر دوی $x-1$ و $x-2$ نمی‌توانستند هم زمان صفر شوند. و در آخر داریم که متغیر $x$ که فقط یک عدد است! می‌تواند یکی از دو عضو مجموعهٔ $\lbrace 1,2\rbrace$ باشد. هر یک از این دو در برابری صدق می‌کند. به هر عددی که در یک برابری صدق کند اصطلاحا یک ریشه برای آن برابری می‌گوئیم. برابری یکُم ما یک ریشه داشت. برابری جدیدمان دو ریشه دارد. الآن حق دارم بیایم و بگویم «تعریف می‌کنم $x_1$ عدد ۱ باشد و $x_2$ عدد ۲ و از الآن به بعد می‌توانم از این دو نماد در ادامهٔ کارهایم استفاده کنم.».

یک گام دیگر پیش برویم. فرض کنیم عددی که دوستمان در ذهنش گرفته است عددی حقیقی است که در برابری زیر صدق کند.

$$x^4-1=0$$

با توجه به بحث باید محاسبهٔ زیر برایتان روشن باشد.

$$\begin{array}{rl} x^4-1=0\Longrightarrow & (x^2-1)(x^2+1)=0\\ \Longrightarrow & \left\lbrace\begin{array}{l} x^2-1=0\\ \vee\\ x^2+1=0 \end{array}\right. \end{array}$$

چون $x^2+1=0$ روی اعداد حقیقی پاسخ ندارد پس $x^2+1=0\Longrightarrow x\in\emptyset$ و در مورد حالت دیگر $x^2-1=0\Longrightarrow x\in\lbrace 1,2\rbrace$ و چون در بین‌شان «یا» داشتیم داریم $x\in\emptyset\cup\lbrace 1,2\rbrace$ که می‌شود $x\in\lbrace 1,2\rbrace$ یا همان «$x$ می‌تواند ۱ یا ۲ باشد». اما فردی که نمادهای $x_1$ و $x_2$ و غیره بدون دلیل به کار می‌برد این‌طوری می‌شود که ما باید $x_1$ تا $x_4$ داشته‌باشیم پس جواب‌های سوم و چهارم کجا هستند؟ اگر همچین سوالی برایش پیش نیاید پس باید به او گفت که چگونه قبلا بدون اینکه این نمادها را تعریف کنید تعدادشان را می‌دانستید (دانستن تعداد نمادهایی که تعریف نشده‌اند)! به هر حال پس اولین نکتهٔ مهم اول باید معادله را حل کنید، و سپس بعد از بدست آوردن ریشه‌ها تعریف می‌کنید مثلا ریشهٔ اول را $\alpha$ می‌نامم و ریشهٔ دوم را $\beta$ می‌نامم یا مثلا همان نمادگذاری $x_1$ و $x_2$ و غیرهٔ خودتان. این نکتهٔ مهم اول برای شما. باز هم بیشتر پیش برویم.

فرض کنید عددی که در ذهن دوست‌تان است در برابری زیر صدق می‌کند.

$$x^2-x+\frac{3}{16}=0$$

اکنون چه کار می‌کنید؟ با چیزی که شما در متن پرسش انجام دادید اینجا هم می‌تواند فردی بیاید و بنویسد $x=x^2+\frac{3}{16}$ و سپس بگوید $x_1=x^2+\frac{3}{16}$ و حدس بزنید چه؟ بگوید برابری یک ریشه دارد که $x_1$ است و این ریشه چیست؟ و به هیجان بیافتد. مشکل اینجاست که این فرد فکر کرده است که حل کردن برابری یعنی رسیدن به چیزهایی که یک سمت تساوی $x$ است و حالا مهم نیست که آن طرف چه هست، هر چه باشد اسمش را ریشه یا جواب یا پاسخ می‌گذارد و از نمادهای $x_1$ و غیره استفاده می‌کند.

بیاییم بررسی کنیم چه اشکال‌هایی در کار این فرد وجود دارد.

  1. این فرد هنوز برابری را حل نکرده است.
  2. این فرد نماد $x_1$ را بدون تعریف قبلی وارد کار کرده‌است.
  3. این فرد فکر می‌کند نوشتهٔ $x_1=x^2+\frac{1}{16}$ یک عدد است!

از مورد ۱ به ۳ شروع به درست کردن کار ایشان کنیم.

  1. بیایید برابری را حل کنیم. از روش‌های زیادی می‌توانید این کار را بکنید که آشنا هستید، استفاده از فرمول دلتا، استفاده از تجزیه، استفاده از روش‌های عددی مانند حل عددی معادله بوسیلهٔ روش نیوتن، ... . در هر حال خواهیم داشت که $x\in\lbrace \frac{1}{4},\frac{3}{4}\rbrace$.
  2. این برابری تک‌ریشه‌ای نیست! دو ریشه دارد. اکنون می‌تواند بگوید بیاییم عدد $\frac{1}{4}$ را ریشهٔ اول با و با نماد $x_1$ نمایش دهید و عدد $\frac{3}{4}$ را ریشهٔ دوم و با نماد $x_2$ نمایش دهیم.
  3. آن عبارت $x_1=x^2+\frac{3}{16}$ چه معنایی می‌توانست داشته باشد؟ معنایش ریشهٔ اول نیست، معنایش این است که $x$ هر چه هست، توان دویش را با سه‌شانزدهم جمع کنید آن چیز را $x_1$ می‌نامیم. پس در این حالت با فرض کردن اینکه هنوز $x$ همان معنای مجهول برابری‌مان را دارد، $x_1$ یک مجهول جدید است که مقدارهای ممکن‌اش اعضای $\lbrace(\frac{1}{4})^2+\frac{3}{16},(\frac{3}{4})^2+\frac{3}{16}\rbrace$ است. که همان $\lbrace\frac{1}{4},\frac{3}{4}\rbrace$ است. اما مسلمان یک عدد نیست! ما یک متغیر جدید تعریف کردیم که مقادیرش برابر با مقادیر متغیر قبلی‌مان شد. در واقع معادله را به جای اینکه حل کنیم دوباره یک معادلهٔ جدید ساختیم. یعنی دستگاه تک‌معادله-تک‌مجهول اصلی را تبدیل کردیم به دستگاه دو معادله-دومجهول زیر
$$\left\lbrace\begin{array}{l} x^2-x+\frac{3}{16}=0\\ x_1-x^2-\frac{3}{16}=0 \end{array}\right.$$

که مجموعهٔ پاسخ‌های آن برابر است با $\lbrace(\frac{1}{4},\frac{1}{4}),(\frac{3}{4},\frac{3}{4})\rbrace$. و توجه کنید که فقط با داشتن برابری دوم نمی‌توانید به این مجموعه پاسخ برسید. با فقط در نظر گرفتن $x_1=x^2+\frac{3}{16}$ به مجموعه‌نقاطی که خم زیر را در صفحهٔ دو بعدی $x\circ x_1$ می‌سازد می‌رسید!

توضیحات تصویر

دستور رسم در نرم‌افزار Mathematica:

ContourPlot[x1==x^2+3/16,{x1,-10,10},{x,-10,10},Axes->True,ContourStyle->{Red,Thickness[0.01]}]

اکنون دیگر انتظار می‌رود که ابهام‌های نمادین شما رفع شده‌باشد. عبارت $x_1=\sqrt{14x}-7$ و دیگری در متن پرسش شما نه ۱) پاسخ، ریشه، حل، جواب برای معادله‌تان هستند و نه ۲) عدد هستند. پس به طبع تناقض، ابهام یا ایهامی هم با داشتن یا نداشتن عدد موهومی در نوشته‌شان نیز وجود ندارد.

توسط ناصر آهنگرپور (1,891 امتیاز)
+1
@AmirHosein این همان چیزیست که از فرهیختگانی مانند شما انتظار میره. بدلیل اینکه بنده فارغ التحصیل نظام قدیم هستم و با مفاهیم جدید ریاضی ناآشنا هستم، ممکنه برخی سؤالات بنده کمی مبتدی یا کسل کننده باشه. بنده فقط بدلیل تسلط نسبی به زبان انگلیسی سعی در درک مفاهیم جدید ریاضیات دارم و امیدوارم استاد عزیز به همین روشی که در پیش دارید، صبورانه در کار رفع ابهام بنده اقدام نمایید. بنده مدیون تمام لحظاتی هستم که شما برای رفع ابهام بنده هزینه میکنید. با آرزوی بهترینها برای استاد گرامی.
+1 امتیاز
توسط ناصر آهنگرپور (1,891 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

عبارت $x$ بر حسب $x$ چیزیه که تجزیه دوم به بنده تحمیل کرده و به میل بنده نبوده ولی اشتباه فکری بنده این بود که فکر میکردم فقط با انتقال $x$ به یک طرف تجزیه میتوان ریشه های $x$ را بدست آورد. درحالیکه وقتی تجزیه فوق با صفر مساوی میشه، میتوان رادیکال را به آنطرف معادله برده و با مربع کردن دو طرف به ریشه های معادله دست یافت. ناگفته نماند که این نتیجه مطلوب در اثر راهنماییهای مناسب @AmirHosein، جواب سؤالم را مینویسم. اگر اشتباهی وجود داره بنده را تصحیح نمایید.

$y=x^{2}+49$

برای بدست آوردن ریشه های تابع فوق، آنرا مساوی صفر قرار میدهیم. از آنجا که $x^{2}+49=0$ دارای دو تجزیه متفاوت بشکل زیر است

$1)(x-7i)(x+7i)=0$ $\Rightarrow$ $ x_{1,2=} \pm 7i$

$2)(x- \sqrt{14x}+7)(x+ \sqrt{14x}+7)=0$

سؤال بنده این بود که چرا در تجزیه دوم عدد $i$ وجود ندارد و چگونه میتوان با تکیه بر تجزیه دوم بتنهایی ریشه های موهومی $x$ را بدست آوریم؟ و جواب زیر با راهنماییهای استاد عزیز بفکرم رسید. با مساوی صفر گرفتن هریک از پرانتزها آنها را بشکل زیر بازنویسی میکنیم.

$(x- \sqrt{14x}+7)=0\Rightarrow x+7= \sqrt{14x} \Rightarrow (x+7)^{2}=14x\Rightarrow x^{2}+14x+49=14x \Rightarrow x^{2}+49=0 \Rightarrow x_{1,2=} \pm 7i $

$(x+\sqrt{14x}+7)=0 \Rightarrow x+7=- \sqrt{14x} \Rightarrow (x+7)^{2}= (-\sqrt{14x)}^{2} \Rightarrow x^{2}+14x+49=14x \Rightarrow x^{2}+49=0\Rightarrow x_{1,2=} \pm 7i $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...