نشان دهید که بزرگترین کران پائین یک زیرمجموعهٔ ناتهی از اعداد حقیقی با قرینهٔ کوچکترین کران بالای قرینهٔ این مجموعه برابر است.

Question

نشان دهید اگر $A$ زیرمجموعه‌ای ناتهی و از پایین کراندار از اعداد حقیقی باشد، آنگاه $\inf(A)=-\sup(-A)$.

Answer 1

یک دنباله از اعضای $A$ همگرا به $\inf A$ مانند $(x_n)$ موجود است. پس دنباله $(-x_n)$ که در $-A$ است به $-\inf A$ همگراست. پس $\sup (-A)\ge -\inf A$.

از طرف دیگر یک دنباله از اعضای $-A$ مانند $(y_n)$ همگرا به $\sup (-A)$ وجود دارد. پس دنباله $(-y_n)$ که در $A$ است همگرا به $-\sup (-A)$ است. بنابراین $\inf A\le -\sup (-A)$.