اگر دقت کنید در کسر به صورت $\frac n{m+n}$ که $m,n\in \mathbb N$ همواره داریم $0< \frac n{m+n}< 1$.(چرا؟)
نشان می دهیم $\sup \{\frac n{m+n}:m,n\in \mathbb N\}=1$:
اینکه $1$ کران بالای این مجموعه است بدیهی است.(چرا؟)
فرض کنید $u>0$ یک کران بالای دیگری برای $A$ باشد. کافی است نشان دهیم $1\leq u$.(چرا؟)
فرض کنید $u< 1$ در اینصورت بنا بر تعریف حد برای $\lim_{n\to \infty}\frac n{m+n}=1$ با $m$ دلخواه ثابت و $\epsilon=1-u>0$، یک $N$ موجود است که برای $n\geq N$ داریم
$$|\frac n{m+n}-1|< 1-u$$
به عبارت دیگر برای $n\geq N$ داریم $u< \frac n{m+n}$ که با کران بالا بودن $u$ در تناقض است لذا $1\leq u$ پس $1$ سوپریمم این مجموعه است.
به طور مشابه می توانید ثابت کنید $\inf A=0$
